Формули скороченого множення

Теорія:

У деяких випадках множення многочленів можна виконати коротше, скориставшись формулами скороченого множення.

Потрібно запам'ятати три формули:

1. Формула квадрата суми: (a+b)2=a2+2ab+b2

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу.

(a+b)2=(a+b)⋅(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b==a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

 

2. Формула квадрата різниці: (a−b)2=a2−2ab+b2

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу.

(a−b)2=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)−b⋅a−b⋅(−b)==a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2

 

3. Формула різниці квадратів: (a−b)(a+b)=a2−b2

Різниця квадратів двох виразівдорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми.

(a−b)(a+b)=a⋅a+a⋅b−b⋅a−b⋅b==a2+ab−ab−b2=a2−b2

 

Формула і приклад її застосування

1. (a+b)2=a2+2ab+b2

Приклад:

За формулою:

(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9

Без формули (множення многочлена на многочлен): 

(x+3)2=(x+3)⋅(x+3)=x⋅x+x⋅3+3⋅x+3⋅3==x2+3x+3x+9=x2+6x+9

 

2. (a−b)2=a2−2ab+b2

Приклад:

За формулою:

(x−3)2=x2−2⋅x⋅3+32=x2−6x+9

Без формули (множення многочлена на многочлен):

(x−3)2=(x−3)⋅(x−3)=x⋅x+x⋅(−3)−3⋅x−3⋅(−3)=x2−3x−3x+9=x2−6x+9

 

3. (a−b)(a+b)=a2−b2

Приклад:

За формулою:

(x−3)(x+3)=x2−32=x2−9

Без формули (множення многочлена на многочлен):

(x−3)(x+3)=x⋅x+x⋅3−3⋅x−3⋅3=x2+3x−3x−9=x2−9

 

Використовуючи формулу, отримати результат можна значно швидше.

Зверни увагу!

Перша і друга формули відрізняються тільки знаками.

(a±b)2=a2±2ab+b2