Основні поняття

Теорія:

Якщо дано два лінійних рівняння з двома змінними x і y:

a1x+b1y+c1=0 і a2x+b2y+c2=0, — і поставлено завдання знайти такі пари значень (x;y), які одночасно задовольняють і першому, і другому рівнянню, то говорять, що задані рівняння утворюють систему рівнянь.

Рівняння системи записують одне під другим і об'єднують спеціальним символом — фігурною дужкою:

{a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.

Пару значень (x;y), яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називають розв'язком системи.

Вирішити систему — це означає знайти всі її розв'язки або встановити, що їх немає.

Приклад:

Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь

{x+2y−5=0,2x+4y+3=0.

 

Графіком рівняння x+2y−5=0 є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних x і y, що задовольняють цьому рівнянню.

x	5	0
y	0	2,5

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l1, яка проходить через ці дві точки.

 

Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма.
Знайдемо дві пари значень змінних x і y, що задовольняють цьому рівнянню.

x	−1,5	2,5
y	0	−2

 

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l2 , що проходить через ці дві точки.

 

 

Прямі l1 і l2 паралельні, значить, система не має рішень, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій з побудованих прямих.
Відповідь: система не має рішень.

 

Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:

{2x−y−5=0,2x+y−7=0.

 

Побудуємо графіки рівнянь системи, приведемо кожне рівняння до вигляду лінійної функції. Отримаємо з першого рівняння y=2x−5 і з другого рівняння y=−2x+7.

 

Графіком рівняння y=2x−5 є пряма.

 

Знайдемо дві пари значень змінних x і y, що задовольняють цьому рівнянню.

x	0	3
y	−5	1

 

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l1, яка проходить через ці дві точки.
Графіком рівняння y=−2x+7 також є пряма.

 

Знайдемо дві пари значень змінних x і y, що задовольняють цьому рівнянню.

 

x	0	1
y	7	5

 

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l2 , що проходить через ці дві точки.

 

Прямі l1 і l2 перетинаються в точці A, координати якої — єдиний розв'язок заданої системи.
Відповідь: (3;1)

 

Для розв'язання цих двох прикладів застосовувався графічний метод рішення системи лінійних рівнянь.

  

Але цей метод не дуже надійний, оскыльки координати точки перетину за кресленням не завжди легко визначити.
Але все-таки графічний метод рішення системи лінійних рівнянь дуже важливий.

  

Застосовуючи його, можна дійти таких висновків:

 

1. Прямі, які є графіками рівнянь можуть перетинатися в одній точці, координати якої — єдиний розв'язок заданої системи.

 

2. Прямі можуть бути паралельні, значить, система не має рішень (система несумісна),

 

3. Прямі можуть збігатися, значить, система має нескінченну безліч рішень (система невизначена).

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра.  7 класс.

В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

М.: Мнемозина, 2009.