Фінальна конференція Проекту МЛО/MLO в Україні - початок Всеукраїнського експерименту-2016.

 

Формули для радіусів вписаного й описаного кіл трикутника

Якщо в трикутнику відомі його сторони, то завжди можна знайти радіус описаного навколо нього кола і радіус вписаного в нього кола.

Для трикутника зі сторонами a, b і c і площею S справедливі такі формули:

R = abc / 4S.

R = 2S / (a + b + c).

У прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи R = c / 2, а радіус вписаного кола дорівнює половині різниці суми катетів і гіпотенузи r = (a + b – c) / 2, де a і b — катети прямокутного трикутника, а c — його гіпотенуза.

Для трикутника зі сторонами a, b, c і радіусом описаного кола R справедлива формула площі трикутника:

S = abc / 4R, тобто площа трикутника дорівнює відношенню добутку сторін трикутника до радіуса описаного кола, збільшеного вчетверо.

Також справджується формула:

S = pr, де p — півпериметра трикутника, а r — радіус вписаного кола. Тобто площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола.

Для будь-якого многокутника, в який можна вписати коло, площа дорівнює добутку половини периметра многокутника на радіус вписаного кола.

Запам’ятайте! Площа рівнобічної трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями дорівнює квадрату висоти.

 

Площа трапеції. Площа чотирикутника. Площі подібних фігур

Трапеція рівновелика прямокутнику, одна сторона якого дорівнює середній лінії трапеції, а інша — висоті трапеції. Тоді:

Площа трапеції дорівнює добутку висоти трапеції на половину суми його основ або добутку середньої лінії трапеції на її висоту: _, a і b — основи трапеції, h — висота трапеції.

Діагоналі трапеції ділять її на чотири трикутники, два з яких мають рівні площі, а площі двох інших відносяться як квадрати основ трапеції.

Площу будь-якого опуклого чотирикутника, діагоналі якого перетинаються, знаходять за формулою , де d₁ і d₂ — діагоналі чотирикутника, γ — кут між діагоналями.

Площа будь-якого правильного n-кутника дорівнює добутку квадрата вписаного в многокутник кола на кількість сторін многокутника і на тангенс половини центрального кута цього многокутника.

Площа будь-якого правильного n-кутника дорівнює половині добутку квадрата описаного навколо нього кола на кількість сторін многокутника і на синус центрального кута цього многокутника.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів, тобто як квадрат коефіцієнта їх подібності.

Площа трикутника

Площа будь-якого трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

Зверніть увагу! Оскільки трикутник має три висоти, то площу трикутника можна записати трьома способами. При розв’язанні трикутників можна користуватися методом площ.

Сторони трикутника обернено пропорційні його висотам, тобто чим більша сторона трикутника, тим менша висота, проведена до неї, і навпаки.

Площу трикутника також можна знаходити за формулою Герона. Площа трикутника дорівнює кореню квадратному з добутку половини периметра трикутника на половину периметра без однієї сторони на половину периметра без другої сторони і на половину периметра без третьої сторони: _, де , a, b, c — сторони трикутника.

Площа рівностороннього трикутника дорівнює чверті добутку квадрата його сторони на корінь квадратний з числа три: S = (a²√3)/4.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

Додаткові відомості.

Будь-яка медіана трикутника поділяє його на два рівні за площею трикутники (рівновеликі трикутники).

Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і при цьому утворюються шість трикутників, площі яких рівні.

Якщо основи двох трикутників рівні, то відношення площ цих трикутників дорівнює відношенню їх висот. І навпаки, якщо у двох трикутників висоти рівні, то відношення їх площ дорівнює відношенню їх основ.

Якщо у внутрішній області правильного (рівностороннього) трикутника обрати будь-яку точку, то сума відстаней від цієї точки до сторін трикутника буде дорівнювати висоті даного трикутника.

Площі фігур

Поняття площі. Площа прямокутника. Площа паралелограма

Просте тіло — геометрична фігура, яку можна розбити на скінченне число плоских трикутників.

Площа простої фігури — додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

Рівні фігури мають рівні площі.

Площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

Площа квадрата зі стороною, рівній одиниці виміру, дорівнює одиниці.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін. , де a і b — суміжні сторони прямокутника.

Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони: , де a — сторона квадрата.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: , де a — сторона паралелограма, h — висота, проведена на цю сторону.

У паралелограмі більшою висотою є висота, проведена до меншої сторони, і навпаки, меншою є та висота, яка проведена до більшої сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними: , де a і b — суміжні сторони паралелограма, α — кут між цими сторонами.

Площа паралелограма дорівнює половині добутку двох його діагоналей на синус кута між ними: , де d₁ і d₂ — діагоналі паралелограма, γ — кут між діагоналями.

Площа ромба дорівнює добутку його сторони на висоту ромба: , де a — сторона ромба, h — висота, проведена на цю сторону.

Площа ромба дорівнює квадрату його сторони на синус кута між сторонами. , де a — сторона ромба, α — кут між сторонами.

Площа ромба дорівнює половині добутку двох його діагоналей: , де d₁ і d₂ — діагоналі ромба.

Зверніть увагу!

Іноді при розв’язанні задач використовують метод площ, який полягає в тому, що площу фігури записують двома різними способами, наприклад, площу паралелограма записують як добуток однієї висоти на відповідну їй сторону і як добуток другої висоти на відповідну їй сторону. Після цього прирівнюють одержані вирази, і з рівності знаходять невідомий елемент.

Довжина кола. Радіанна міра кута

У колі відношення довжини кола до діаметра кола не залежить від кола й дорівнює ~3,14. Це число позначають буквою π.

Таким чином, довжина кола дорівнює l = 2πR, де R — це радіус кола, l — довжина кола.

Кути в колі можуть вимірюватись не лише градусною мірою, але й радіанною мірою.

Радіанна міра кута — це відношення довжини відповідної дуги кола, на яку спирається центральний кут, до радіуса кола: , де R — це радіус кола, l— довжина кола, n — градусна міра дуги кола.

Одиниця радіанної міри кутів — радіан.

Кут в один радіан — це центральний кут, що спирається на дугу кола, довжина якої дорівнює його радіусу. Один радіан приблизно дорівнює 57° . Радіанну міру кута можна одержати множенням градусної міри кута на відношення .

Тоді радіанна міра кута в 180° дорівнює π.

Запам’ятайте радіанну міру деяких градусних мір:

0° = 0 радіан

30° =

45° =

60° =

90° =

180° = π

270° =

360° = 2π

 

Співвідношення між сторонами правильних многокутників і радіусами вписаного й описаного кіл

Для правильних многокутників існує поняття центрального кута многокутника — кута між двома відрізками, що з’єднують центр многокутника з двома сусідніми його вершинами. Градусна міра центрального кута правильного многокутника дорівнює . У правильному многокутнику відрізок, що з’єднує центр многокутника з вершиною многокутника, є радіусом кола, описаного навколо цього многокутника. Радіус описаного кола дорівнює відношенню сторони многокутника до подвоєного синуса половини центрального кута многокутника. , де а — це сторона многокутника, а n — кількість кутів многокутника.

У правильному многокутнику відрізок, що з’єднує центр многокутника з серединою сторони многокутника, є радіусом кола, вписаного в цей многокутник. Радіус вписаного кола дорівнює відношенню сторони многокутника до подвоєного тангенса половини центрального кута многокутника: , де а — це сторона многокутника, а n — кількість кутів многокутника.

Запам’ятайте!

У правильному трикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні, поділеній на корінь квадратний із числа 3: , а радіус вписаного кола дорівнює стороні трикутника, поділеній на два кореня квадратних із числа 3: . У правильного трикутника радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного кола.

У правильному чотирикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні, поділеній на корінь квадратний із числа 2: , а радіус вписаного кола дорівнює половині сторони чотирикутника: r = a/2..

У правильному шестикутнику радіус описаного кола дорівнює стороні многокутника , а радіус вписаного кола дорівнює половині сторони шестикутника, помноженій на корінь квадратний із числа 3: .

Многокутники

Ламана. Многокутник. Правильні многокутники

Ламана — це фігура, яка складається з певної кількості точок і відрізків, що послідовно їх сполучають.

Точки називаються вершинами ламаної, а відрізки — ланками ламаної.

Проста ламана — це ламана, яка не має самоперетинань.

Довжина ламаної — сума довжин її ланок.

Сторони ламаної не менші від довжини відрізка, що з'єднує його кінці.

Замкнута ламана — ламана, у якої збігаються кінці.

Многокутник — це проста замкнута ламана. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами многокутника.

Діагоналі многокутника — це відрізки, що з'єднують несусідні вершини многокутника.

n-кутник — це многокутник з n вершинами.

Плоский многокутник — скінченна частина площини, обмежена многокутником.

Опуклий многокутник — многокутник, що лежить в одній півплощині щодо будь-якій прямої, яка містить його сторону.

Внутрішній кут опуклого многокутника при даній вершині — це кут між його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Будь-який кут опуклого многокутника менший за 180° . Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n – 2) . Зовнішній кут опуклого многокутника — кут, суміжний внутрішньому куту многокутника при даній вершині.

Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, узятих по одному при кожній вершині, за будь-якого n дорівнює 360°.

Опуклий многокутник називається правильним, якщо всі його сторони рівні і рівні всі його кути.

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі.

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються деякого кола.

Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло й описаним навколо кола, при цьому центри вписаного й описаного кіл співпадають, і ця точка є центром правильного многокутника..

Якщо в правильному трикутнику з’єднати його центр відрізками з вершинами многокутника, то одержимо кути, які називаються центральними кутами правильного многокутника. Градусна міра центрального кута правильного многокутника дорівнює .

 

Розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути.

Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види:

1. Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами.

План розв’язання:

-   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

-   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

2. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними.

План розв’язування:

-   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону.

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути.

Зверніть увагу!

Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

3. Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.

План розв’язування:

-   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони. При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж значенню синуса кута відповідають два кути — гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом. Враховуйте, що проти більшої сторони лежить більший кут.

-   Знаходимо третій кут трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо третю сторону трикутника.

Зверніть увагу! Ця задача може мати два розв’язки.

4. Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами.

План розв’язування:

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

Теорема синусів

Співвідношення між сторонами і протилежними до них кутами будь-якого трикутника виражається в теоремі синусів:

Сторони будь-якого трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c , і протилежні їм кути відповідно α, β, γ, то справедливим є співвідношення:

. Якщо трикутник є вписаним в коло з радіусом R, то відношення сторін трикутника до синусів протилежних їм кутів дорівнює двом радіусам описаного кола (тобто дорівнює діаметру описаного навколо трикутника кола).

З теореми синусів випливає, що в трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона.

Розв’язування трикутників

Теорема косинусів

У будь-якому трикутнику всі три його сторони і кут між двома з них мають властивість, яка виражається в теоремі косинусів:

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c, і протилежні їм кути відповідно α, β, γ , то справедливими є співвідношення:

. . . З теореми косинусів випливає, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс мінус подвоєний добуток однієї зі сторін на проекції другої сторони. Якщо протилежний кут гострий, то беремо знак мінус, якщо протилежний кут тупий, беремо знак плюс.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим.

З теореми косинусів випливає формула косинуса будь-якого кута трикутника:

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

.

. За допомогою теореми косинусів можна довести теорему про діагоналі паралелограма:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін.

Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо у колі дві хорди перетинаються, то вони точкою перетину діляться кожна на два відрізки. Точка перетину двох хорд у колі ділить їх на пропорційні відрізки, з чого випливає, що добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди.

Якщо з точки поза колом проведено до кола дотичну, то відрізок дотичної, що сполучає цю точку з точкою дотику, називають відрізком дотичної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну, то вона перетинає коло у двох точках, а відрізок, що сполучає точку поза колом з однією точкою перетину, і відрізок, що сполучає точку поза колом з другою точкою перетину, називають відрізками січної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну і дотичну, то відрізки січної і дотичної пропорційні, з чого випливає, що квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної.

Якщо з точки поза колом до кола проведено дві січні, то утворені відрізки січних пропорційні, з чого випливає, що добуток відрізків однієї січної дорівнює добутку відрізків другої січної.

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін чотирикутника.

 

Кути, вписані в коло. Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо на площині провести кут, то він розіб’є її на дві частини, кожна з яких називається плоским кутом. Ці кути мають спільні сторони.

Два кути, що мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їх сума дорівнює 360°.

Якщо в колі побудувати плоский кут так, що його вершиною буде центр кола, то матимемо кут, який називається центральним кутом. Отже, центральним кутом у колі називається плоский кут із вершиною в центрі кола.

Частина кола, яка знаходиться всередині плоского кута, називається дугою кола.

Градусна міра дуги кола — це градусна міра відповідного центрального кута.

Кажуть, що градусна міра центрального кута кола дорівнює градусній мірі дуги кола, на яку він опирається.

У колі кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло, називається вписаним кутом. Градусна міра вписаного в коло кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Якщо в колі центральний і вписаний кут спираються на одну й ту ж дугу, то градусна міра вписаного кута удвічі менша за градусну міру центрального кута. Уписані в деяке коло кути, що спираються на одну й ту саму дугу кола, мають рівні градусні міри незалежно від розміщення на колі їх вершин.

Говорять, що вписаний кут спирається на хорду, що стягує відповідну дугу кола. Тоді є справедливим таке твердження: усі вписані кути деякого кола, що спираються на одну й ту саму хорду і лежать з одного боку від неї, мають однакові градусні міри, тобто рівні. Якщо ж два вписані кути деякого кола спираються на одну й ту саму хорду і лежать із різних боків від неї, то їхня сума дорівнює 180°.

Градусні міри дуг кола, що лежать між двома паралельними хордами, рівні.

Усі вписані в деяке коло кути, що спираються на діаметр, є прямими.

Запам’ятайте!

- центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить усередині трикутника;

- центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником;

- центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи трикутника.

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники і дорівнює половині гіпотенузи. Водночас вона є радіусом кола, описаного навколо цього трикутника.

Справедливими є й такі твердження:

-   якщо медіана деякого трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то протилежний до цієї сторони кут є прямим.

-   якщо гіпотенуза деякого прямокутного трикутника є діаметром кола, то даний трикутник є вписаним у це коло.

Властивість бісектриси трикутника

Трикутник є найпростішою геометричною фігурою, тому відомо багато теорем про його елементи, одним із яких є бісектриса.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до точки перетину з протилежною стороною.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — в центрі вписаного в трикутник кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам, а саме на відрізки, відношення яких дорівнює відповідно відношенню прилеглих до них двох інших сторін трикутника.

Або бісектриса трикутника розбиває деяку сторону на дві такі частини, що відношення однієї з них до прилеглої до неї сторони трикутника дорівнює відношенню другої частини до відповідно прилеглої до неї сторони трикутника.

Корисними при розв’язанні задач є властивості елементів прямокутного трикутника.

Співвідношення в прямокутному трикутнику:

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

 

Ознаки подібності трикутників. Подібність прямокутних трикутників

Подібність трикутників відіграє важливу роль у геометрії. Вона широко застосовується при кресленні і побудові моделей. Два трикутники називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

Зверніть увагу!

При позначенні подібних трикутників стежте за тим, щоб у назвах подібних трикутників вершини відповідних рівних кутів стояли на однакових місцях.

Для того щоб два трикутники були подібними, достатньо, щоб їх сторони або кути задовільняли певні умови, висловлені в ознаках подібності.

Ознаки подібності трикутників:

1. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

3. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

4. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і найбільший із протилежних їм кутів одного трикутника дорівнює відповідному куту другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Ознаки подібності прямокутних трикутників:

За гострим кутом. Якщо прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. У прямокутного трикутника один кут прямий, тому для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.

За двома пропорційними катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника пропорційні катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

За пропорційними катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

Зверніть увагу! Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на два трикутники, подібні один одному і подібні даному трикутнику.

Поняття площі поверхні. Площа бічної і повної поверхні циліндра. Площа бічної і повної поверхні конуса. Площа сфери. Площа частин сфери

- Внутрішньою точкою називається точка фігури, якщо куля з центром у цій точці повністю належить даній фігурі.

- Областю називається фігура, всі точки якої внутрішні.

- Граничною точкою є точка фігури, якщо куля з центром у цій точці містить точки, що належать даній фігурі, і точки, що не належать їй.

- Замкненою областю називають область разом з її границею.

Означення геометричного тіла та його поверхні:

- Тілом є скінчена замкнена область.

- Поверхнею тіла називається межа тіла.

Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S = 2pRh, де R — радіус циліндра, h — висота циліндра.

Площа повної поверхні циліндра обчислюється за формулою S = 2pR(R + h), де R — радіус циліндра, h — висота циліндра.

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S = p Rl, де R — радіус основи конуса, l — висота твірної.

Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою S = p R(R + l), де R — радіус основи конуса, l — висота твірної.

Площа сфери обчислюється за формулою: S = 4pR², де R — радіус сфери.

Площа сферичної частини поверхні кульового сектора, тобто кульового сегменту, обчислюється за такою формулою: S = 2pRh, де R — радіус сфери, h — висота сегмента.

Об’єм циліндра, конуса. Об’єм зрізаного конуса. Об’єм кулі, кульового сегмента і сектора

Нехай тіло має заданий об’єм, якщо існують прості тіла, що містять його, і прості тіла, що містяться в ньому, з об’ємами, що як завгодно мало відрізняються від заданого об’єму.

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі його основи на висоту.

Об’єм зрізаного конуса дорівнює третині добутку висоти конуса на константу π і на суму квадратів радіусів кожної основи і добутку радіусів основ конуса.

Тілом обертання називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої, що називається віссю обертання, перетинається по кругах з центрами на цій прямій.

Загальна формула об’єму тіла обертання така:

Об’єм тіла обертання, розміщеного між паралельними площинами х = а і х = b дорівнює добутку константи π на визначений інтеграл від квадрату функції, що обмежує тіло зверху, а границі інтегрування – числа а і b.

Об’єм кулі визначається за формулою: V = 4 / 3 pR.

Кульовим сегментом називається частина кулі, яка відсікається від кулі площиною.

Об’єм кульового сегменту дорівнює: V = ph² (R – h / 3).

Кульовим сектором називається тіло, яке одержуємо з кульового сегменту і конусу таким чином: якщо кульовий сегмент менший від півкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а основою є основа сегмента.

Якщо ж сегмент більший від півкулі, то конус із нього виймається. Об’єм кульового сектору одержуємо додаванням або відніманням відповідних сегмента і конуса. Об’єм кульового сектора знаходимо за формулою V = 2 / 3pR²h.

 

Поняття об’єму. Основні властивості об’ємів. Об’єм прямокутного паралелепіпеда. Об’єм похилого паралелепіпеда. Об’єм призми. Об’єм піраміди. Об’єм зрізаної піраміди. Об’єми подібних тіл

Об’єм простого тіла — це додатна величина, що має такі властивості:

- рівні тіла мають рівні об’єми;

- об’єм тіла дорівнює сумі об’ємів його частин;

- об’єм куба, чиє ребро дорівнює одиниці довжини, становить одиницю;

- об’єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Тіло є простим, якщо його можна розбити на скінчену кількість трикутних пірамід.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних розмірів.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту паралелепіпеда.

Об’єм похилого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

Об’єм будь-якого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

Об’єм похилої призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра.

Два тіла називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні об’єми.

Дві трикутні піраміди з рівними площами основ і рівними висотами рівновеликі.

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи на висоту.

Об’єм будь-якої зрізаної піраміди дорівнює одній третій добутку висоти піраміди на суму площ двох її основ і кореня квадратного з добутку площ основ піраміди.

Куля і сфера. Взаємне розміщення площини і кулі у просторі

Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на однаковій відстані.

Центром кулі є дана точка, радіусом кулі називається дана відстань.

Сферою називається поверхня, що складається з усіх точок простору, розміщених на певній відстані від даної точки.

Діаметром кулі є відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через центр кулі. Кінці будь-якого діаметра кулі називається діаметрально протилежними точками кулі.

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Будь-яка площина, що проходить через центр кулі, є її площиною симетрії.

Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Центр кулі є його центром симетрії.

Площина, що походить через деяку точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в дану точку, має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.

Пряма, що лежить у дотичній площині до кулі і проходить через точку дотику, є дотичною до кулі в цій точці.

Радіус сфери, проведений у точку дотику сфери з площиною, перпендикулярний до дотичної площини. Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, який лежить на сфері, то ця площина є дотичною до сфери.

Лінія перетину двох сфер є коло.

Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.

Многогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються поверхні кулі.

Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на її осі.

Зверніть увагу! Якщо в результаті перетину кулі площиною одержали переріз, то він є кругом. Відрізок, що сполучає даний переріз і центр кулі, перпендикулярний до площини перерізу, і його довжина дорівнює відстані від центра кулі до площини перерізу. Відрізок, що сполучає центр кулі і точку на колі перерізу, є радіусом кулі.

Якщо кола двох основ циліндра лежать на деякій сфері, то кажуть, що циліндр вписано в сферу або що сфера описана навколо циліндра. Вважають, що сфера вписана в циліндр, якщо вона дотикається його основ, а з бічною поверхнею має одне спільне коло. Не в кожний циліндр можна вписати коло.

Якщо вершина конуса і коло його основи лежать на деякій сфері, то кажуть, що конус вписано в сферу, а сфера описана навколо конуса.

Конус. Осьовий переріз конуса. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус. Уписані та описані піраміди і конуси

Конус – це тіло, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга, та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга.

Основою конуса є круг, вершиною конуса є точка, що не лежить у площі круга, твірними конуса є відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи.

Прямим є конус, у якого пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи, перпендикулярна до площини основи. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Віссю прямого конуса є пряма, що містить його висоту.

Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.

Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а бічні сторони є твірними конуса. Такий переріз називається осьовим.

Конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником, називається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини основи, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого є хордою основи конуса, а бічні сторони – твірними конуса.

Якщо січна площина проходить паралельно основі конуса, то перерізом є круг з центром на осі конуса. Така січна площина розтинає конус на дві частини – конус і зрізаний конус. Круги, що лежать у паралельних площинах цього конуса, – його основи; відрізок, що з’єднує їх центри, - це висота зрізаного конуса.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, яка містить цю твірну.

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, основою якою є многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина співпадає з вершиною конуса.

Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса.

Це цікаво. Якщо в геометрії для зображення фігур використовують паралельне проектування, то в живописі, архітектурі, фотографії використовують центральне проектування.

Наприклад, у просторі зафіксовано деяку точку О (центр проектування) і площину α, що не проходить через цю точку. Через точку простору і центр проектування проведено пряму, яка перетинає задану площину в точці, яку називають центральною проекцією точки на площину. Центральне проектування не зберігає паралельність. Зображення просторових фігур на площині за допомогою центрального проектування називається перспективою. Теорією перспективи займались художники Леонардо да Вінчі та Альбрехт Дюрер.

Поняття про тіла і поверхні обертання. Циліндр. Осьовий переріз циліндра. Переріз циліндра площиною. Уписані та описані призми і циліндри

Тілом обертання називається тіло, що перетинається по кругах з центрами на деякій прямій площинами, перпендикулярними до цієї прямої. Найпростішими тілами обертання є циліндр, конус, куля.

Циліндр – це тіло, яке складається з двох кругів, що лежать у різних площинах та суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки даних кругів.

Основами циліндра є круги, твірними циліндра є відрізки, що сполучають відповідні точки кіл даних кругів.

Радіусом циліндра є радіус його основи. Висотою циліндра є відстань між основами.

Властивості циліндра:

- основи циліндра рівні;

- основи циліндра лежать у паралельних площинах;

- твірні циліндра паралельні і рівні;

- переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник.

Переріз циліндра площиною, паралельною його основі, є коло, яке дорівнює колу основи.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основи.

Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна його твірним.

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні.

Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутником, дві сторони якого твірні циліндра, а дві інші – паралельні хорди його основ.

Осьовим перерізом циліндра називається переріз, що проходить через його вісь. Осьовий переріз циліндра є прямокутником.

Циліндр, осьовий переріз якого є квадратом, називається рівностороннім циліндром.

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра.

Дотичною площиною до циліндра називається площина, що проходить через твірну циліндра і перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю площину.

Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а площини бічних граней є дотичними площинами до циліндра.