http://rmk-nosvita.at.ua/load/seminari_naradi_rmk/seminari_rmk/moja_ljubov_ukrajina_i_matematika/14-1-0-1093
Шукати в цьому блозі
неділю, 28 лютого 2016 р.
четвер, 25 лютого 2016 р.
суботу, 20 лютого 2016 р.
пʼятницю, 19 лютого 2016 р.
Комплексні числа
- У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.
Означення комплексного числа і уявної одиниці
Числоa+bi a іb — будь-які дійсні числа,i — уявна одиниця, називається комплексним числом (a — дійсна частина,bi — уявна частина комплексного числа, аb — коефіцієнт при уявній частині).
Число, квадрат якого дорівнює−1
, позначають буквоюi і називають уявною одиницею (i — перша буква латинського слова imaginarius — уявний).
Тобто, для символуi
виконується рівність
i⋅i=i2=−1. a+bi
називають алгебраїчною формою комплексного числа.
Примітка! Слово «комплексний» означає складений.Часто комплексне число позначають буквоюz
і записуютьz=a+bi .
Комплексні числа — це розширення числової системи дійсних чисел. Позначаються вони буквоюC
.
Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.
Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності, комутативності та дистрибутивності.
Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними?
Два комплексних числаa+bi
іc+di рівні між собою тоді і тільки тоді, колиa=c іb=d , тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.
Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має сенсу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше10i
чи3i ,2+5i чи5+2i .
Числаa+bi
іa−bi , дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.
Приклади.та
- Спряженими є комплексні числа
4+3i
4−3i - Спряженими є комплексні числа
- .
- Якщо дано число
6i
, то спряженим до нього є - .
- До числа
11
спряженим буде - .
(−3+5i)+(4−8i)=(−3+4)+(5−8)i=1−3i (3+2i)+(−1−5i)=(3−1)+(2−5)i=2−3i (2+3i)+(6−3i)=(2+6)+(3−3)i=8−0i=8 (10−3i)+(−10+3i)=(10−10)+(−3+3)i=0−0i=0 (−5+2i)−(3−5i)=(−5−3)+(2−(−5))i=−8+7i (6+7i)−(6−5i)=(6−6)+(7+5)i=12i (0,3+2,5i)−(−0,75+1,5i)= -
Множення
z1⋅z2=r1⋅r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)). -
Ділення
z1z2=r1r2(cos(φ1−φ2)+isin(φ1−φ2)). -
Піднесення до степеня (формула Муавра)
zn=rn(cosnφ+isinnφ). -
Добування кореня
z√n=r(cosφ+isinφ)−−−−−−−−−−−−−√n=
і
Дії над комплексними числами.
Нехай дано два комплексні числаі
а) Додавання комплексних чисел
Сумою двох комплексних чиселі
Приклади (додавання комплексних чисел):
Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.
Додавання комплексних чисел
б) Віднімання комплексних чисел
Різницею двох комплексних чиселі
Приклади (віднімання комплексних чисел):
Віднімання комплексних чисел
в) Множення комплексних чисел
Добутком двох комплексних чиселі
Приклад (множення комплексних чисел):
(1−2i)⋅(3+2i)=(1⋅3−(−2)⋅2)+(1⋅2+(−2)⋅3)i=
Множення комплексних чисел
Добуток двох спряжених комплексних чисел:
г) Ділення комплексних чисел.
Часткою комплексних чиселі
Приклад (знайти частку комплексних чисел):
7−4i3+2i=(7−4i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=13−26i13=1−2i.
Ділення комплексних чисел
Геометричне зображення комплексного числа
Комплексне числогеометрично зображують точкою
Геометричне зображення комплексного числа.
. Тобто
між додатним напрямком осі абсцис і вектором
Примітка! Кожне комплексне число, що не дорівнює нулю, має нескінчену множину аргументів,
які відрізняються один від одного на 360∘k
, де
.
Тригонометрична форма комплексного числа.
Виразившиі
Дії над комплексними числами, які записані у тригонометричній формі
Нехай задано два комплексні числа:
Підписатися на:
Дописи (Atom)