Подібність фігур

Перетворення подібності

Ще в Стародавній Греції виникло вчення про подібні фігури. Зокрема, у книзі «Начала» Евклід пише про перетворенні подібності.

Перетворенням подібності, або подібністю називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому відстані між точками змінюються в одне й те саме число разів. Це число називається коефіцієнтом подібності. Коефіцієнт подібності позначається латинською буквою k і є додатним числом.

Якщо коефіцієнт подібності дорівнює одиниці, то перетворення є рухом;

якщо коефіцієнт подібності менший від одиниці, то відстань між точками зменшується; якщо коефіцієнт подібності більший від одиниці, то відстань між точками збільшується.

Перетворення подібності має такі властивості:

-   перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — в півпрямі, відрізки — у відрізки;

-   перетворення подібності зберігає кути між півпрямими;

-   перетворення подібності переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Дві фігури називаються подібними, якщо одну з них можна одержати з другої за допомогою перетворення подібності. Подібність фігур означає, що незалежно від розмірів і положення на площині ці фігури мають однакову форму.

Усі кола є подібними фігурами, усі квадрати є подібними фігурами.

Якщо перша фігура подібна другій фігурі з коефіцієнтом k, то друга фігура теж подібна першій фігурі, але з коефіцієнтом, оберненим числу k, — 1/k . Одним із перетворень подібності є гомотетія.

Якщо дві подібні фігури розміщені так, що всі півпрямі, проведені з деякої точки через точки однієї фігури, проходять через відповідні точки другої фігури, то це є гомотетія.

Гомотетією з центром у точці О і коефіцієнтом k називається таке перетворення однієї фігури в другу, при якому кожна точка Х першої фігури переходить у точку Х' другої фігури так, що точка Х' лежить на промені, що виходить з точки О і проходить через точку Х, а відстань між точкою О і точкою Х' дорівнює відстані між точкою О і точкою Х, помноженій на коефіцієнт гомотетії k.

Практичні поради.

Щоб побудувати відрізок, гомотетичний даному відрізку з заданим центром гомотетії і заданим коефіцієнтом гомотетії, проведіть півпрямі з початком у центрі гомотетії, які проходять через кінці відрізка. На півпрямих від їх початку відкладіть відрізки, довжини яких дорівнюють відповідно довжинам відрізків, що з’єднують центр гомотетії з кінцями заданого відрізка, помножених на коефіцієнт гомотетії, і з’єднують точки, одержані на півпрямих.