Тіла і поверхні обертання

Циліндр

Циліндр можна отримати обертанням прямокутника AA1O1O навколо однієї з його сторін OO1 або прямокутника AA1B1B навколо прямої OO1, яка проходить через серединні точки протилежних сторін.

 

 

Пряма OO1 називається віссю циліндра, AA1 і BB1 — твірними.

 

Висота H циліндра збігається з будь-яким із відрізків OO1=AA1=BB1.

 

Два кола, які утворилися при обертанні, називають основами циліндра.

 

Радіусом R=OA=OB циліндра називається радіус його основи.

Осьовим перерізом циліндра називається перетин циліндра площиною, що проходить через його вісь. Осьовим перерізом циліндра (прямого кругового циліндра) є прямокутник, на даному малюнку — прямокутник AA1B1B.

Розгортка бічної поверхні циліндра теж прямокутник:

 

Бічна поверхня прямого кругового циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту:
Sбіч.=2πRH

 

Повна поверхня циліндра обчислюється за формулою:
S=Sбіч.+2Sосн.=2πRH+2πR2

 

Для об'єму прямого кругового циліндра вірно:
V=πR2H

Конус

Конус можна отримати обертанням прямокутного трикутника POA навколо одного з його катетів PO або рівнобедреного трикутника APB навколо прямої PO, що проходить через вершину P і середину O основи трикутника.

 

 

Віссю прямого кругового конуса називається пряма PO, що містить його висоту H.

 

Осьовий переріз конуса, що проходить через його вершину, являє собою рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони PA і PB є твірними l конуса.

 

Радіус конуса R = OA = OB — це радіус основи.

 

Розгортка бічної поверхні конуса являє собою круговий сектор:

 

 

Радіус цього сектора дорівнює твірній конуса, тобто дорівнює l, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса, тобто дорівнює 2πr.

 

Площа бічної поверхні конуса визначається як площа даного кругового сектора:

Sбіч.=πl2⋅α°360°

 

Якщо розглянути довжину кола основи конуса як довжину дуги кругового сектора, отримуємо:

2πR=2πl⋅α°360°2πR=πl⋅α°180°α°=2πR⋅180°πl=R⋅360°lSбіч.=πl2⋅α°360°=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl

 

Sбіч.=πRl — ще одна формула для визначення бічної поверхні конуса.

 

Повна поверхня конуса:

S=Sбіч.+Sосн.=πRl+πR2

 

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

V=13πR2H

Куля та поверхня кулі — сфера

Сфера виходить при обертанні півкола або кола навколо його діаметра AB як осі.

 

Границя кулі називається кульовою поверхнею або сферою.

 

Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центру O на відстань, рівну радіусу R.

  

Будь-який відрізок, як OA, OB і OC або інші, що з'єднують центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

 

Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром, як AB на малюнку. Кінці будь-якого діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Переріз кулі площиною, що проходить через його центр, називається великим колом, а переріз сфери — великою окружністю.

Поверхня сфери:

S=4πR2

 

Об'єм кулі:

V=43πR3