Що таке математична модель

Математична модель — це спосіб опису реальної життєвої ситуації (завдання) за допомогою математичної мови.

Уявімо таку ситуацію: у школі три сьомих класи.
У 7А вчаться 15 дівчаток і 13 хлопчиків,
у 7Б вчаться 12 дівчаток і 12 хлопчиків,
у 7В вчаться 9 дівчаток і 18 хлопчиків.

 

Відповідаючи на питання, скільки учнів у кожному із сьомих класів, доведеться тричі здійснювати одну й ту саму операцію складання:

у 7А      15+13=28 учнів;

у 7Б      12+12=24 учні;

у 7В      9+18=27 учнів.

 

Використовуючи математичну мову, можна всі ці три різні ситуації об'єднати: у класі вчаться a дівчаток і b хлопчиків. Значить, усього учнів a+b.
Така математична модель даної реальної ситуації.

 

У наступній таблиці наведено різні реальні ситуації та їх математичні моделі; при цьому a — число дівччинок у класі, b — число хлопчиків у тому ж класі.

№	Реальна ситуація	Математична модель
1	У класі дівччинок і хлопчиків порівну (як у 7Б)	a=b
2	Дівччинок на 2 більше, ніж хлопчиків (як у 7А)	a–b=2 чи a=b+2 чи a–2=b
3	Дівчинок на 9 меньше, ніж хлопчиків (як у 7В)	b–a=9 чи b=a+9 чи a=b−9

 

Навіщо потрібна математична модель реальної ситуації, що вона дає, окрім короткого виразного запису?
Щоб відповісти на це питання, розв'яжемо таку задачу.

Приклад:

У класі дівччинок удвічі більше, ніж хлопчиків. Якщо з цього класу підуть три дівчинки та прийдуть три хлопчики, то дівчинок буде на 4 більше, ніж хлопчиків. Скільки учнів у даному класі?
Розв'язання:
Нехай x — число хлопчиків у класі, тоді 2x — число дівчинок. Якщо підуть три дівчинки, то залишиться (2x−3)​​ дівчинок. Якщо прийдуть три хлопчика, то стане (x+3) хлопчиків. За умовою дівчаток буде тоді на 4 більше, ніж хлопчиків; математичною мово. це записується так:

(2x−3)−(x+3)=4.

Це рівняння — математична модель задачі. Використовуючи відомі правила розв'язання рівнянь, послідовно отримуємо:

(2x−3)−(x+3)=42x−3−x−3=4x−6=4x=10

Тепер ми можемо відповісти на питання завдання: у класі 10 хлопчиків, а значить, 20 дівчинок, оскільки їх було вдвічі більше.
Відповідь: у класі всього 30 учнів.

 

Можна помітити, що в ході розв'язаня було виділено три етапи міркувань.

 

Перший етап. Складання математичної моделі.
Було введено змінну \ (x \) і текст завдання перекладено математичною мовою, тобто було складено математичну модель задачі у вигляді рівняння(2x−3)−(x+3)=4.

 

Другий етап. Робота з математичною моделлю.
Тут було розв'язано рівняння до простої відповідіx=10.

 

Третій етап. Відповідь на питання завдання.
Використовуючи отриманий на другому етапі розв'язання, відповіли на питання завдання.

 

Розглянуту в прикладі математичну модель називають алгебраїчною моделлю.

 Завдання.

Побудувати графік температури повітря, якщо відомо, що температуру вимірювали протягом доби і за результатами вимірювання склали таку таблицю:

Час доби, год	0	2	4	6	8	10	11	14	16	18	22	24
Температура, °C	5	0	0	−3	−4	−2	0	6	8	5	3	3

 

Розв'язання:
Побудуємо прямокутну систему координат. По горизонтальній осі (вісь абсцис) будемо відкладати значення часу, а по вертикальній осі (вісь ординат) - значення температури. Побудуємо на координатній площині точки, координатами яких є відповідні числа з таблиці. Усього виходить 12 точок.

 

 

Поєднавши їх плавною лінією, отримаємо один з можливих графіків температури.

 

 

Побудований графік є математичною моделлю, що описує залежність температури від часу. Аналізуючи цей графік, можна описати словами, що відбувалося з температурою повітря протягом доби.

Розглянуту в прикладі математичну модель називають графічною моделлю. 

Отже, математичні моделі бувають:
1) словесні — реальні ситуації описують словами;
2) алгебраїчні — у вигляді рівностей зі змінними, у вигляді рівнянь (як у першому прикладі);
3) графічні — у вигляді графіків залежності змінних;
4) геометричні — вивчаються в курсі геометрії.

Важливо для розв'язання завдань навчитися переходити від однієї моделі до іншої. Так, у першому прикладі, від словесної моделі перейшли до алгебраїчної моделі, а в другому прикладі — від словесної моделі перейшли до графічної моделі.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра.  7 класс.

В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

М.: Мнемозина, 2009.