Шукати в цьому блозі

понеділок, 15 лютого 2016 р.

Визначник Вронського


Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Диференціальні рівняння
De template.svg
Визначник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.
Для n фукнцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n-1 порядку.
W = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},
Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.


Для лінійного диференційного рівняння другого порядку

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі
y'' + g(x)y' + h(x)y = 0 \,
визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).
Нехай y_1(x) та y_2 (x) - два лінійно незалежні розв'яки, тобто
y_1'' + g(x)y_1' + h(x)y_1 = 0 \,
y_2'' + g(x)y_2' + h(x)y_2 = 0 \,
Домножаючи перше рівняння на y_2 (x) а друге на y_1 (x) і віднімаючи отримуємо
W' +g(x)W = 0 \,
або
W = C e^{-\int g(x)dx} \, .
Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.
Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

Приклади

  • Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій 1,x^2,3+2x^2 дорівнює нулю:
W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.
  • Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій 1,x,x^3
W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.
Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.
  • Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:
f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}
Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронськіан всюди нуль.
W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}
Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронськіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.
Опубліковано о
Мітки:

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)