Модальна логіка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Мода́льна ло́гіка — це розділ сучасної логіки, де вивчаються модальні висловлювання та їхні відношення в структурі міркувань. Залежно від того, які види модальних висловлювань досліджуються, виділяють різні види модальних логік. Найпоширеніші — часові («колись у майбутньому», «завжди в минулому», «завжди» тощо) і просторові («тут», «десь», «близько» тощо). Наприклад, модальна логіка здатна оперувати твердженнями на кшталт «Київ завжди був столицею України» або «Харків колись у минулому був столицею України», які неможливо або вкрай складно виразити в немодальній мові. Окрім часових і просторових модальностей є й інші, наприклад «відомо, що» (логіка знання) або «можна довести, що» (логіка довідності).
Зазвичай для позначення модального оператора використовується і двоїстий до нього :

Це відображає те, що сказати: «Київ колись був столицею України», — те ж саме, що сказати: «не вірно, що Київ ніколи не був столицею України».

Модальності

Алетичні^[en] модальні поняття:

• Логічні
  • L — необхідно
  • M — можливо
  • С — випадково
• Фактичні
  •  — необхідно
  •  — можливо
  •  — випадково

• Деонтичні (дав.-гр. deon, deontos — належне, необхідне) модальні поняття:
  • обов'язково
  • дозволено
  • заборонено

Логіку деонтичних модальностей розробив фінський філософ Георг фон Врігт^[en]

• Аксіологічні (дав.-гр. axios — цінність) модальні поняття:
  • добре
  • нейтрально
  • погано

Аксіологічну логіку розробив філософ А. А. Івін^[ru].

• Епістемічні (дав.-гр. episteme — знання) модальні поняття:
  • знання
  • припущення
  • незнання

Епістемічну логіку^[en] розроблено Яакко Хінтікка^[en].

• Часові:
  • минуле
  • теперішнє
  • майбутнє

• Просторові:
  • там
  • тут
  • ніде

Семантика

В математичній логіці й інформатиці найпоширенішою є семантика Кріпке^[en], також існують алгебраїчна семантика^[en], топологічна семантика^[ru] та ряд інших.

Синтаксис

Модальна форма визначається рекурсивно як слово в алфавіті, складене із зліченної множини пропозіційних змінних , класичних зв'язок , дужок і модального оператора . А саме, формулою є

1.  для будь-якого 
2. 
3. , якщо  і  - формули.
4. , якщо  - формула.

Нормальною модальною логікою називається множина модальних формул, що містить всі класичні тавтології, аксіому нормальності

і замкнута щодо правил Modus ponens , підстановки і введення модальності .
Мінімальна нормальна модальна логіка позначається