Додекаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Додекаедр, натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі

Додека́едр (від грец. dodeka — дванадцять і грец. hedra — грань), дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаної сфери:

Двогранний кут між гранями:
, де - золотий перетин

Приклади в природі

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.
Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

Властивості

• Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
• Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Додекаедр має три зірчасті форми.

Школа Піфагора

У школі Піфагора ця фігура була настільки священною що про неї навіть не говорили. Лише через 200 років після смерті Платона про неї почали говорити, але дуже обережно. Все тому що вважалося, що додекаедр розташований у зовнішній частині краю енергетичного поля і є найвищою формою свідомості.^{[Джерело?]}

Декартові координати

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/φ, ±φ)

(±1/φ, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1/φ)

де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.