Деякі наслідки з аксіом

Наслідки з аксіом

1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, притому тільки одну.

Доведення:
1) Розглянемо пряму a і точку A, яка не знаходиться на цій прямій.
2) На прямій a оберемо точки B і C.
3) Оскільки всі три точки не лежать на одній прямій, з другої аксіоми випливає, що через точки A, B, C і можна провести одну єдину площину α.
4) Точки прямої a, B і C, лежать на площині α, тому з третьої аксіоми випливає, що площина проходить через пряму a і, звичайно, через точку A.

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, притому тільки одну.

Доведення:
1) Розглянемо прямі a і b, які перетинаються в точці C.
2) Оберемо точку A на прямій a і точку B на прямій b так, щоб ці точки не збігалися з точкою C.
3) З другої аксіоми випливає, що через точки A, B і C можна провести одну єдину площину α. У такому випадку прямі a і b знаходяться на площині α(судячи з третьої аксіоми).

Приклад:

Дано відрізки, що перетинаються, AC і BD. Довести, що всі відрізки AB, BC, CD, DA знаходяться на одній площині.

Розв'язання:

1) З другої теореми випливає, що через AC і BD можна провести тільки одну площину, яку позначимо α. Це означає, що точки A,B,C і D належать площині α.
2) З третьої аксіоми випливає, що всі точки прямих AB, BC, CD і DA належать площині. Тому всі відповідні відрізки лежать на площині α.