Дослідження функцій на монотонність

Теорема 1. Якщо у всіх точках відкритого проміжку X виконується нерівність f′(x)≥0 (причому рівність f′(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), то функція y=f(x)) зростає на проміжку X.

Теорема 2. Якщо у всіх точках відкритого проміжку X виконується нерівність f′(x)≤0 (причому рівність f′(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), то функція y=f(x) спадає на проміжкуX.

Отже:

якщо існує похідна функції в інтервалі (a,b) і в даному інтервалі

1) f'(x)≥0, то функція в ньому не спадає;

2) f'(x)≤0, то функція в ньому не зростає;

3) f'(x)>0, то функція в ньому зростає;

4) f'(x)<0, то функція в ньому спадає.

 

Приклад:

Необхідно досліджувати інтервали монотонності функції f(x)=x3−4x2−16x+17.

 

Спочатку знаходимо похідну: f'(x)=(x3−4x2−16x+17)'=3x2−8x−16.

Це парабола, яка перетинає вісь x в точках x1=−43 і x2=4 і чиї гілки спрямовані вгору. Тому похідна від'ємна в інтервалі (−43;4) (функція спадає) і додатна в інтервалах (−∞;−43) і (4;+∞) (функція зростає).

 

Відповідь: 

функція f(x)=x3−4x2−16x+17 зростає в інтервалах (−∞;−43) і (4;+∞), спадає в інтервалі (−43;4).

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.