Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√<g(x)   (2)$$\sqrt{f(x)}<g(x)(2)$$

рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)>0(f(x)−−−−√)2<(g(x))2   (3)$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2<{(g(x))}^2\end{array}(3)$$

6. Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√>g(x)   (4)$$\sqrt{f(x)}>g(x)(4)$$

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)≥0(f(x)−−−−√)2>(g(x))2$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2>{(g(x))}^2\end{array}$$	(5)$$(5)$$
{f(x)≥0g(x)<0$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$$

7. Показникова нерівність

af(x)>ag(x)   (6)$$a^{f(x)}>a^{g(x)}(6)$$

При a>1$a>1$ рівносильна нерівності

f(x)>g(x)   (7)$$f(x)>g(x)(7)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — нерівності

f(x)<g(x)   (8)$$f(x)<g(x)(8)$$

8. Логарифмічна нерівність

logaf(x)>logag(x)   (9)$${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)(9)$$

При a>1$a>1$ рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)>g(x)   (10)$$\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)>0\\ f(x)>g(x)\end{array}(10)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)<g(x)      (11)$$\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)>0\\ f(x)<g(x)\end{array}(11)$$

Джерело

• Збірник задач з математики за редакцією М.І.Сканаві (3-тє видання, Київ, 1996)