Завдання на відшукання найбільших і найменших значень величин

Російський математик XIX століття П. Л. Чебишев казав, що «особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють вирішувати задачу, загальну для всієї практичної діяльності людини: як мати у розпорядженні свої засоби для досягнення найбільшої вигоди."
Завдання подібного роду носять спільну назву — задачі на оптимізацію (от латинського слова optimum — «найкращий»).

Завдання на оптимізацію вирішують за звичайною схемою з трьох етапів математичного моделювання:

1. складання математичної моделі;

2. робота з моделлю;

3. відповідь на питання завдання.

Далі рекомендації методичного плану.

Перший етап. Складання математичної моделі.

1. Проаналізувавши умови задачі, виділяємо величину, что оптимізується (скорочено: О.В.), тобто величину, про найбільше або найменше значення якої йдеться. Позначаємо її буквою y (або S,V,R,t - залежно від фабули).

2. Одну з тих, що беруть участь в задачі невідомих величин, через яку порівняно неважко виразити О.В., приймаємо за незалежну змінну (скорочено: Н.З.) і позначаємо її буквою x (або якою-небудь іншою буквою). Встановлюємо реальні границі зміни Н.З. (відповідно до умов задачі), тобто область визначення для шуканої О.В.

3. Виходячи з умов завдання, висловлюємо y через x. Математична модель задачі являє собою функцію y=f(x)) з областю визначення X, яку знайшли на другому кроці.

Другий етап. Робота з складеною моделлю.

На цьому етапі для функції y=f(x), x∈X знаходимо yнайм або yнайб, в залежності від того, що потрібно в умові завдання. При цьому використовуються теоретичні установки, які були дані в першому пункті даного параграфа.

Третій етап. Відповідь на питання завдання.

Тут слід дати конкретну відповідь на питання завдання, спираючись на результати, отримані на етапі роботи з моделлю.

Приклад:

Міцність балки прямокутного перетину пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Який перетин повинна мати балка, витесана з циліндричної колоди радіуса R, щоб її міцність була найбільшою?

Розв'язання. Перший етап. Складання математичної моделі.

1. Оптимізована величина (О. В.) - міцність балки, оскільки в задачі потрібно з'ясувати, коли міцність балки буде найбільшою. Позначимо О. В. буквою y.

2. Міцність залежить від ширини і висоти прямокутника, що служить осьовим перерізом балки. Оголосимо незалежною змінною (Н. П.) ширину балки, позначимо її буквою x. Оскільки осьовий переріз являє собою прямокутник, вписаний в коло радіуса R (див.рис.), то 0<x<2R - такі реальні границі зміни незалежної змінної.

3. Висота h прямокутника пов'язана з його шириною співвідношенням x2+h2=4R2 (за теоремою Піфагора). Отже, h2=4R2−x2.

Міцність балки \ (y \) пропорційна добутку xh2, тобто y=kxh2 (де коефіцієнт k — деяке додатне число).
Отже,
y=kx(4R2−x2),x∈(0;2R).

Математична модель задачі складена.

Другий етап. Робота з складеною моделлю.
На цьому етапі для функції y=kx(4R2−x2),x∈(0;2R) треба знайти yнайб.

Маємо:

y=4kxR2−kx3;y′=4kR2−3kx2.

Критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки. Прирівнявши похідну до нуля, отримаємо:

4kR2−3kx2=0x1=2R3√;x2=−2R3√.

Заданому інтервалу (0;2R) належить лише точка x1 і причому x1=2R3√ —точка максимуму функції. Отже, за теоремою з пункту 1,

yнайб=f(x1)=f(2R3√)=16kR333√.

Третій етап. Відповідь на питання завдання.

У задачі питається, який перетин повинна мати балка найбільшої міцності. Ми з'ясували, що ширина \ (x \) прямокутника, що служить осьовим перерізом найбільш міцної балки, дорівнює 2R3√. Знайдемо висоту:

h2=4R2−4R23=8R23h=2R2√3√⇒hx=2√.

Відповідь: перетином балки повинен служити прямокутник, у якого відношення висоти до ширини дорівнює 2√.

Зауваження. Кваліфіковані майстри приходять до такого ж результату, спираючись на свій досвід, але, зрозуміло, вони приймають вказане відношення рівним 1,4 (2√≈1.4).

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.