Знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної функції на проміжку

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції найчастіше використовується графік функції. У деяких випадках можна знайти найбільше і найменше значення функції і без допомоги графіка, використовуючи міркування. У більш складних випадках використовується похідна. Для цього сформулюємо деякі теореми:

1. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на ньому і свого найбільшого, і свого найменшого значень (Ця теорема доводиться в курсі вищої математики).

2. Найбільшого і найменшого значень безперервна функція може досягати як на кінцях відрізка, так і всередині нього.

3. Якщо найбільше (або найменше) значення досягається всередині відрізка, то тільки в стаціонарній або критичній точці.

Алгоритм знаходження найменшого та найбільшого значень неперервної функції f(x) на відрізку [a;b]:

1. Знайти похідну f′(x).

2. Знайти стаціонарні та критичні точки функції, що лежать всередині відрізка [a;b].

3. Обчислити значення функції y=f(x) в точках, відібраних на другому кроці, і в точках a і b; вибрати серед цих значень найменше (це буде yнайм) і найбільше (це буде yнайб).

А як бути, якщо мова йде про знаходження найбільшого або найменшого значення функції, неперервної на незамкнутому проміжку, наприклад на інтервалі? Можна побудувати графік функції і зняти інформацію з отриманою графічної моделі. Але частіше виявляється більш зручним використовувати наступну теорему.

Теорема. Нехай функція y=f(x) неперервна на проміжку X і має всередині нього єдину стаціонарну або критичну точку x0. Тоді:

а ) если x=x0 — точка максимуму, то yнайб=f(xo);

б ) если  x=x0 — точка мінімуму, то yнайм=f(xo).

На малюнках наведені відповідні геометричні ілюстрації.

                                               

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.