Застосування похідної для доведення

Теорема  (умова постійності функції).

 Для того щоб безперервна функція y=f(x) була постійна на проміжку X, необхідно і достатньо, щоб у всіх внутрішніх точках проміжку похідна функції дорівнювала нулю.

Приклад:

Довести, що якщо α<β, то α+cosα<β+cosβ.

Розв'язання . Розглянемо функцію y=f(x), де f(x)=x+cosx, і знайдемо її похідну:

f′(x)=(x+cosx)′=1−sinx.

 f′(x)≥0 при будь-якому значенні x, причому f′(x)=0 не так на суцільному проміжку, а лише в точках виду x=π2+2πn. Отже, функція зростає на всій числовій прямій, а тому, із α<β випливає f(α)<f(β), тобтоα+cosα<β+cosβ.

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.