Правильні багатогранники

Опуклий багатогранник називається правильним, якщо:
1. Усі його грані рівні правильні багатокутники;
2. У кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер.

Всі ребра правильного багатогранника рівні, а також рівні всі двогранні кути, що містять дві грані із спільним ребром.

Виникають питання:
1. Які правильні багатокутники можуть бути гранями правильного багатогранника?
2. Скільки граней може мати правильний багатогранник?

Не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні багатокутники, якщо число їх сторін 6 або більше, тобто правильні n-кутники, якщо n≥6.

1. У правильного n-кутника, якщоn≥6, кути не менш 120°.

2. У кожній вершині многогранника повинно бути не менше трьох кутів.

3. Навіть при трьох кутах сума всіх кутів вже досягає 360°.

4. Сума всіх плоских кутів при кожній вершині опуклого багатогранника менше 360°.

Отже, не існує правильного багатогранника, гранями якого були б правильні n-кутника, якщоn≥6.

Тільки правильні трикутники, чотирикутники (квадрати) і п'ятикутники можуть бути гранями правильного багатогранника.

Чи існують правильні багатогранники з такими гранями і скільки граней вони мають? Очевидно, менше можливе число граней — чотири.

Теорема Ейлера і правильні багатогранники

Теорема Ейлера.

У будь-якому опуклому многограннику сума числа граней і числа вершин на 2 більше числа ребер.

За допомогою теореми Ейлера ми можемо отримати відповідь на питання:
які правильні багатогранники можуть існувати?

1. Нехай кількість ребер правильного багатогранника, що виходять з однієї вершини, дорівнює m, а гранями є правильні n — кутники.

2. Позначимо величини, що входять у формулу Ейлера В (вершини) і Г (грані) через:

Р (ребра), m, n, де n і m — цілі числа і m≥3, n= 3; 4 або 5.

3. Так як кожне ребро з'єднує дві вершини, і в кожній вершині сходяться m ребер, то 2Р=Вm.

Тоді В=2Рm

4. Так як кожне ребро багатогранника міститься у двох гранях, то Гn=2Р.

Тоді Г=2Рn

5. Підставляючи отримані вирази для Г і В у формулу Ейлера Г+В−Р=2, отримуємо

2Рm+2Рn−Р=2

6. Розділивши обидві частини рівності на 2Р, отримаємо

1m+1n−12=1Р

7. Розв'яжемо це рівняння при отриманому в попередньому доведенні значенні n= 3 і знайдемо допустимі значення m.

 1m+13−12=1Р 

1m−16=1Р

За змістом Р>0, значить 3≤m≤5.

Таким чином теорема Ейлера дозволяє існування наступних правильних багатогранників:
1. m=3,n=3,P=6,Г=4 — тетраедр2. m=3,n=4,P=12,Г=6 — куб

3. m=3,n=5,P=30,Г=12 — додекаедр4. m=4,n=3,P=12,Г=8 — октаедр5. m=5,n=3,P=30,Г=20 — ікосаедр

Доведено існування правильних багатогранників:

тетраедр із 4 гранями, 6 ребрами і 4 вершинами:

куб із 6 гранями, 12 ребрами і 8 вершинами:

  

октаедр із 8 гранями, 12 ребрами і 6 вершинами:

  

додекаедр із 12 гранями, 30 ребрами і 20 вершинами:

  

ікосаедр із 20 гранями, 30 ребрами і 12 вершинами:

Джерела:

Л. С. Атанасян; В. Ф. Бутузов; С. Б. Кадомцев; Л. С. Кісєльова; Е. Г. Позняк "Геометрія 10 - 11 класи"
Москва, "Освіта" 2009