Показникова функція, її графік і властивості

У практиці часто використовуються функції y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x і т. д., тобто функція виду y=ax, де a - задане число, x - змінна. Такі функції називають показниковими. Ця назва пояснюється тим, що аргументом показникової функції є показник степеня, а основою степеня - задане число.

 

Функція, задана формулою y=ax (де a>0,a≠1), називається показниковою функцією з основою a.

  

Сформулюємо основні властивості показникової функції:

1. Область визначення - множина R дійсних чисел.

2. Область значень - множина R+ всіх додатних дійсних чисел.

3. При a>1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<a<1 функція спадає на множині R.

ax1<ax2, якщо x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, якщо x1<x2,(0<a<1)

4. При будь-яких дійсних значеннях x і y справедливі рівності  

axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

  Графіки показникових функцій зображені на малюнках:

1) для випадку a>1

 

 

2) для випадку 0<a<1 

 

 

Побудуємо графіки функцій y=2x і y=(12)x, використавши розглянуті властивості і знайшовши кілька точок, що належать графіку.

Приклад:

Відзначимо, що графік функції y=2x проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

Якщо x<0 і убуває, то графік швидко наближається до осі Ox (але не перетинає її);

якщо x>0 і зростає, то графік швидко піднімається вгору.

Такий вигляд має графік будь-якої функції y=ax, якщо a>1

 

Приклад:

Графік функції y=(12)x також проходить через точку (0;1) і розташований вище осі Ox

 

 

Якщо x>0 і зростає, то графік швидко наближається до осі Ox (не перетинаючи її);

якщо x<0 і убуває, то графік швидко піднімається вгору.

Такий же вигляд має графік будь-якої функції y=ax, якщо 0<a<1.

Джерела:

Ш.А. Алімов та ін. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10-11 кл. загальноосвітніх установ. Москва. Просвітництво, 2007
А.Н. Колмагоров та ін. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10-11 кл. серед. шк. Москва. Просвітництво, 1990