Показникові рівняння. Поняття і властивості степеня з раціональним показником

Показниковими рівняннями називають рівняння виду af(x)=ag(x), де a — додатне число, відмінне від 1, і рівняння, що зводяться до цього виду.

При вирішенні показникових рівнянь застосовують

властивості степенів з раціональними показниками:

1. якщо n=1, то a1=a;

2. якщо n=0 і a≠0, то a0=1;

3. якщо n=2,3,4,5..., то an=a⋅a⋅a⋅...⋅a (n множників);

4. якщо n=1,2,3,4,... і a≠0, то a−n=1an.

Приклад:

1. 51=5

2. 70=1

3. a4=a⋅a⋅a⋅a

4. a−4=1a4

Якщо pq - звичайний дріб (p>0,q≠1) і a>0, то під apq розуміють ap−−√q, тобто apq=ap−−√q,a≥0.

Приклад:

1.312=3√

2.754=75−−√4

3.6423=642−−−√3=(43−−√3)2=42=16

Зверни увагу!

 Математики домовилися зводити в дробові ступені тільки невід'ємні числа (це обумовлено в визначенні).

Так що запис виду (−8)13 вважається в математиці позбавленим змісту.

  

Якщо pq - звичайний дріб (q≠1) і  a>0, то під  a−pq розуміють 1apq, тобто a−pq=1apq,a>0

Приклад:

1.3−12=1312=13√

2.7−54=1754=175−−√4

  

Справедливі наступні властивості (припускаємо, що a>0,b>0,s,t довільні раціональні числа):

1)as⋅at=as+t;2)as:at=as−t;3)(as)t=as⋅t;4)(a⋅b)s=as⋅bs;5)(ab)s=asbs.

Можна виділити три основні методи вирішення показникових рівнянь, які наводяться в наступних теоретичних матеріалах даного розділу.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. — 2-е вид. — М.: Мнемозина, 2001. —335 с: іл., стор. 231

Функціонально-графічний метод

 

Метод заснований на використанні графічних ілюстрацій або яких-небудь властивостей функцій.

  

В одній системі координат будуємо графіки функцій, записані в лівій і в правій частинах рівняння, потім, знаходимо точку (точки) їх перетину. Абсциса знайденої точки є рішенням рівняння.

  

Приклад:

1.Розв'язати рівняння 5x=6−x

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій y=5x і y=6−x

 

Вони перетинаються в одній точці (1; 5). Перевірка показує, що насправді точка (1; 5) задовольняє і рівнянню y=5x, і рівнянню y=6−x.

Абсциса цієї точки служить єдиним коренем заданого рівняння,
оскільки y=5x — зростаюча функція, а  y=6−x— спадна функція.
Отже, рівняння 5x=6−x має єдиний корінь x=1.

 

Приклад:

2. Розв'язати рівняння: (13)x=3;

Побудувавши в одній системі координат графіки функцій y=(13)x і y=3,
 помічаємо (див. рис.), що вони мають одну спільну точку (-1; 3). Отже, рівняння (13)x=3; має єдиний корінь x=−1.
Отже, з рівняння (13)x=(13)−1 ми отримали x=−1.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. — 2-е вид. — М.: Мнемозина, 2001.—335 с: іл., стор. 256. 

Метод зрівнювання показників

Теорія:

Так як рівність at=as, де a>0,a≠1

справедлива тоді і тільки тоді, коли t=s, то вірне наступне твердження:

Показникове рівняння af(x)=ag(x) (де a>0,a≠1) рівносильне рівнянню f(x)=g(x).

Приклад:

1. Розв'язати рівняння: 22x−4=64 
Представивши 64 як 26, перепишемо задане рівняння у вигляді  22x−4=26
Це рівняння рівносильне рівнянню 2x−4=6 , звідки знаходимо: x=5

 

2. Розв'язати рівняння: (13)2x−3,5=13√;

Представимо 13√ як (13)12, перепишемо задане рівняння у вигляді (13)2x−3,5=(13)0,5.

Це рівняння рівносильне рівнянню 2x−3,5=0,5, звідки знаходимо: x=2.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. — 2-е вид. — М.: Мнемозина, 2001.—335 с: іл., стор. 256.

Метод введення нової змінної

Теорія:

Спосіб підстановки застосовується в більш складних прикладах. Він полягає в наступному.

 

Показникове рівняння можна вирішити, запровадивши нове позначення. Після підстановки у початкове рівняння нового позначення, одержимо нове, більш просте рівняння, розв'язавши яке, повертаємося до підстановки і знаходимо корені початкового рівняння.

Розглянемо спосіб підстановки на прикладах.

Приклад:

Розв'язати рівняння: 9x−4⋅3x−45=0.

Заміною 3x=t дане рівняння зводиться до квадратного рівняння t2−4t−45=0.

Розв'язуючи це рівняння, знаходимо його корені: t1=9,t2=−5, звідки 3x=9,3x=−5.

Рівняння 3x=9 має корінь x=2, а ріняння 3x=−5 не має коренів, оскільки показникова функція не може приймати від'ємні значення. x=2.

Приклад:

Розв'язати рівняння: 4x+2x+1−24=0

Помітивши, що 4x=(22)x=22x=(2x)2, а 2x+1=2⋅2x,

перепишемо задане рівняння у вигляді (2x)2+2⋅2x−24=0.

 

Введемо нову змінну y=2x; тоді рівняння прийме вигляд y2+2y−24=0.

 

Розв'язавши квадратне рівняння відносно y, знаходимо: y1=4,y2=−6.

Але y=2x значить, нам залишається розв'язати два рівняння: 2x=4;2x=−6.

З першого рівняння знаходимо x=2, а друге рівняння не має коренів, оскільки при будь-яких значеннях x виконується нерівність 2x>0.

Відповідь: 2.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. - 2-е вид. - М .: Мнемозина, 2001.-335 с: іл., стор. 256.

 

Ш.А. Алімов та ін. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10-11 кл. загальноосвітніх установ. - 15-е вид. -М .: Просвітництво, 2007.-384 с .: іл., стор. 76