Коло. Завдання на побудову

Теорія:

Коло

Коло — геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, які знаходяться на заданій відстані від даної точки. Цю точку називають

центром кола, а задану відстань — радіусом кола.

 

Радіус — це відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола. З визначення випливає, що можна провести нескінченну кількість радіусів і вони всі мають однакову довжину.

 

Відрізок, який сполучає дві точки на колі, називають хордою.

 

Якщо хорда проходить через центр кола, то її називають діаметром окружності.

Діаметр - найдовша хорда.
У окружності також можна провести нескінченну кількість діаметрів.

 

 

 

Якщо сполучити дві точки кола не відрізком, а кривою, що проходить по самому колу, то утвориться частина кола між двома точками, яку називають дугою.

Якщо на колі позначити дві точки, то буде дві дуги. Тому для назви дуги використовують три латинські букви, які можуть бути як маленькі, так і великі.

 

На рис. можна виділити: дуга BDH, дуга ACG та інші.
На рис. можна виділити: дуга AxB і дуга AyB.

 

Частина площини, обмежена колом називається кругом.

Завдання на побудову

 

У завданнях, де необхідно виконати конструкції, використовуються  циркуль і лінійка.

Дуже важливо запам'ятати, що в цих завданнях лінійка використовується не як інструмент для вимірювання, а виключно тільки для проведення прямої, променя або відрізка через дві дані точки, тобто для проведення прямої лінії. Циркуль використовується для побудови кола або дуги кола.

 

Розглянемо п'ять основних геометричних побудов, у яких використовуємо згадані дії (побудова прямої та кола):

 

1. Побудова відрізка, що дорівнює даному.
2. Побудова кута, що дорівнює даному.
3. Побудова бісектриси кута.
4. Побудова перпендикулярних прямих.
5. Побудова середини відрізка.

 

1. Побудова відрізка, що дорівнює даному.
Див. відео.

  

 

 

Ясно, що таким чином ми отримали відрізок, що дорівнює даному. Відповідно до визначення кола, воно складається з точок, розташованих на рівній відстані (радіусі) від якоїсь точки (центр кола).
Якщо центром служить початкова точка променя C, радіусом — даний відрізок AB, то точка перетину кола і променя D і є шукана кінцева точка відрізка CD, що дорівнює даному відрізку AB.

 

2. Побудова кута, що дорівнює даному.

Див. відео.

  

 

Доведемо, що побудований кут ECD і є той шуканий кут, що дорівнює даному куту AOB.
Якщо ми побудували коло з центром C  — початковою точкою променя  — і таким самим радіусом, як у кола з центром O, то CD = OB.
Якщо далі ми побудували коло з центром D і радісуом, рівним відрізку BA, і отримали точку перетину обох кіл E, то BA = DE ).Провелипромінь\(CE. Очевидно, OA = CE.
Отже трикутники AOB і ECD рівні за третьою ознакою рівності трикутників, у них рівні і кути, у тому числі кут ECD дорівнює куту AOB.

 

 

3. Побудова бісектриси кута.

Див. відео.

  

 

 

Щоб довести, що OC дійсно ділить кут AOB навпіл, досить розглянути трикутники AOC і BOC.
OA=OB як радіуси одного кола, а AC=BC, оскільки ми при побудові вибрали однакові радіуси для обох кіл.
Сторона OC - спільна.
Ці трикутнику рівні за третьою ознакою рівності трикутників.
Отже, їхні відповідні кути рівні.
Значить, AOC і BOC  — дві рівні частини одного кута, і це означає, що промінь OC ділить кут навпіл.

 

 

4. Побудова перпендикулярних прямих.

Див. відео.

  

 

 

Чому DE є перпендикулярною до BC?
AB=AC  — так ці точки були відкладені при побудові.
BD=CD, оскільки обидва  кола побудували з однаковими радіусами.
Значить, DA або EA — медіани до основи рівнобедрених трикутників ADB або AEB.
Медіана в трикутнику є також висотою, тобто перпендикулярна до основи.

 

 

5. Побудова середини відрізка.

Див. відео.

  

 

 

Ця конструкція така ж, як у випадку побудови перпендикулярних прямих, і вже доведено, що DC або EC ділить AB навпіл, тобто C - серединна точка відрізка AB.