Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині.
Дві прямі лежать на одній площині або мають тільки одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки.
У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому випадку та прямі не перетинаються.
 
 
Дві прямі a і b на площині, які не перетинаються, називаються  паралельними і позначаються a∥b.
Зверни увагу!
Якщо розглянути прямі, які не лежать в одній площині, то можлива ситуація, що прямі не перетинаються, але вони й не паралельні.
 
Одна з ознак паралельності прямих на площині така:
1 Ознака. Якщо дві прямі на площині перпендикулярні однєї і тієї самої прямої, то вони паралельні.
Цю ознаку легко довести, якщо згадати, що до прямої на площині з будь-якої точки можна провести тільки один перпендикуляр.
 
Припустимо, що прямі, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, не паралельні, тобто мають спільну точку.
 
Виникає суперечність - з однієї точки Н до прямої с проведено два перпендикуляри. Таке неможливо, тому дві прямі на площині, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, паралельні.
 
Щоб розглянути інші ознаки, треба ознайомиться з деякими видами кутів
1) Згадаймо, які нам відомі назви та властивості кутів, утворених двома прямими, що перетинаються:
 
Вертикальні кутирівні: ∡1=∡3;∡2=∡4;
Сума суміжнихкутів 1800:∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=1800
 
2) Назви, та властивості кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (січною):
Внутрішні різносторонні кути ∡3 і∡5;∡2і∡8;
Відповідні кути ∡1і∡5;∡4і∡8;∡2і∡6;∡3і∡7;
Внутрішні односторонні кути ∡3і∡8;∡2і∡5.
Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих а і b. Отже друга ознака паралельності прямих на площині така:
 
2 Ознака. Якщо при перетині двох прямих третьою січною:
внутрішні різносторонні кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \ (180 ° \), то прямі паралельні.
 
 
Доведемо цю ознаку
 
Спочатку доведемо: якщо при перетині прямих a і b прямою c і внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі a і b параллельні.
 
Наприклад, якщо ∡3=∡5, тоa∥b.
 
 
1) Відмітимо точки С і D, у яких прямі a і b перетинає пряма \ (с \). Через серединну точку К цього відрізка проведемо перпендикуляр АВ до прямої a.
2) ∡CKA=∡DKB як вертикальні кути, ∡3=∡5=α, CK=KD, отже ΔCKA=ΔDKB за ознакою про сторону та два кути.
3) Зрозуміло, якщо ΔCKA прямокутний, то і ΔDKB прямокутний, і АВ перпендикулярний і до прямої b.
4) Відповідно до першї доведено ознаки, прямі, перпендикулярні до однєї й тієї самої прямої, паралельні.
5) У разі коли відповідні кути рівні, маємо на увазі, що вертикальні кути рівні, і доводимо як у пунктах 1 - 4.
 
 
6) У разі коли, сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, маємо на увазі, що сума суміжних кутів теж дорівнює 180° і використовуємо в доказі пункти 1 - 4.
 
 
3. Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих.
При перетині двох паралельних прямих третьою січною:
- Внутрішні різносторонні кути рівні,
- Відповідні кути рівні,
- Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
 
Повернуться в тему
Наступне завдання
Copyright © 2016 ООО ЯКлас