Теорема Піфагора

Теорія:

 

 

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

 

Одна з найвідоміших геометричних теорем — теорема Піфагора, знаменитого давньогрецького філософа і математика.

В історії математики знаходимо твердження, що цю теорему знали за багато років до Піфагора, наприклад, стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним.

 

У наш час теорема звучить так (маючи на увазі не тільки площі, але і довжини сторін прямокутного трикутника):

 

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів c2=a2+b2.

Відомо дуже багато доведень теореми з різними математичними методами, але одні з найбільш наочних пов'язані з площами.

 

1. Побудуємо квадрат, сторона якого дорівнює сумі катетів даного трикутника a+b.  Площа квадрата дорівнює (a+b)2:

 

 

2. Якщо провести гіпотенузи c, очевидно, що вони утворили квадрат всередині побудованого квадрата.

Сторони чотирикутника дорівнюють c, а кути — прямі, так як гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають 90°, то кут чотирикутника також дорівнює 90°, тому що разом всі три кута дають 180°.

Отже, площа квадрата складається з чотирьох площ рівних прямокутних трикутників і площі квадрата, утвореного гіпотенузами:

 

 

3. На двох сторонах квадрата змінимо місцями відрізки a і b, при цьому довжина сторони квадрата не змінюється.
Тепер площу квадрата можемо скласти з двох площ квадратів, утворених катетами a і b і двох площ прямокутників:

 

 

4. З цього випливають висновки:

 

4⋅ab2=2ab і c2=a2+b2, що і є одним із доведень теореми Піфагора.

Зверни увагу!

Якщо знаходимо довжину гіпотенузи c, то виконуємо додавання квадратів довжин катетів a і b і визначаємо квадратний корінь:

 

c2=a2+b2c=a2+b2−−−−−−√

  

Якщо знаходимо довжину одного катета, то виконуємо віднімання довжини квадрата іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи і визначаємо квадратний корінь:

 

a2=c2−b2a=c2−b2−−−−−−√

Зворотна теорема використовується як ознака прямокутного трикутника.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник є прямокутним.

Приклад:

Чи є трикутник зі сторонами 6 см, 7 см і 9 см прямокутним?

Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:

 

92=62+72;81≠36+49, значить, цей трикутник не прямокутний.

  

Чи є трикутник зі сторонами 5 см, 12 см і 13 см прямокутним?
Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:

 

132=122+52;169=144+25, значить, цей трикутник прямокутний.

Щоб не витрачати багато часу на розв'язання, корисно запам'ятати найбільш використовувані числа Піфагора:

катет, катет, гіпотенуза

 

3;4;56;8;1012;16;205;12;13.  

Подивися ще одне своєрідне доведення теореми Піфагора:

 

Джерела:

http://linguaggio-macchina.blogspot.com