Площа паралелограма, трикутника і трапеції

Теорія:

Площа паралелограма

Необхідно визначити, що таке висота паралелограма.

 

Це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну паралельну сторону. Зазвичай висоту проводять з вершини паралелограма. Так як паралелограм має дві пари паралельних сторін, то він має висоти двох різних довжин.

 

Висота BE, проведена між довгими сторонами, коротше висоти BF, проведеної між короткими сторонами.

 

 

Так як сторони ромба однакові, то висоти ромба також однакові BE=BF.

 

 

Площа довільного паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти і сторони, до якої проведена висота.

 

Проведемо висоти з двох вершин B і C до сторони AD .

 

Прямокутні трикутники ABE і DCF рівні (рівні гіпотенузи як протилежні сторони паралелограма і рівні катети як відстань між паралельними прямими).

 

Паралелограм ABCD і прямокутник EBCF — рівновеликі, так як складаються з рівних фігур:

 

SABCD=SABE+SEBCDSEBCF=SEBCD+SDCF

 

Значить, площа паралелограма визначається так само, як площа прямокутника:

 

SEBCF=BE⋅BCSABCD=BE⋅BC=BC⋅AD

 

Якщо позначити сторону через a, висоту через h, то:

 

Sп−гр=a⋅h

 

Для визначення площі паралелограма можна використовувати коротку сторону і висоту, проведену до короткої сторони.

Площа ромба

Діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, вони перпендикулярні і ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.

 

 

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO

 

Формула визначення площі ромба:

 

Sромба=d1⋅d22

 

Ця формула справедлива для визначення площі будь-якого чотирикутника, якщо його діагоналі перпендикулярні.

 

Так як діагоналі квадрата рівні, то для визначення площі квадрата у формулі достатньо довжини однієї діагоналі:

 

Sквадрата=d22

Площа довільного трикутника

Так як діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника, то площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

 

 

 

Sтрик=aha2, де h — висота (на малюнку — BE), проведена до сторони a (на малюнку — AD).

 

Для визначення площі трикутника можна використовувати будь-яку сторону і висоту, проведену до цієї сторони.

 

Зручно іноді використовувати формулу Герона, якщо відомі довжини всіх трьох сторін трикутника.

 

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√p=a+b+c2

 

— формула Герона, де a,b і c — сторони трикутника, p — напівпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Так як катети прямокутного трикутника взаємно перпендикулярні, то один катет може бути висотою, а інший катет — стороною, до якої проведена висота. Отримуємо формулу:

 

S=a⋅b2, де a і b — катети.

 

Для прямокутного трикутника також можна застосовувати формули площі довільного трикутника.

Приклад:

1. Обчислимо площу трикутника зі сторонами 17 см, 39 см, 44 см.

 

Розв'язання:

 

p=17+39+442=50SΔ=50⋅(50−17)⋅(50−39)⋅(50−44)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=50⋅33⋅11⋅6−−−−−−−−−−−√==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5⋅2⋅3⋅11=330(см2)

 

Щоб легше було вирахувати корінь, необхідно не перемножати всі числа, а розкладати їх на множники: a⋅a−−−−√=a

Формулу Герона можна використовувати для обчислення висоти трикутника.

Приклад:

2. Обчислимо меншу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 15 см, 13 см, 4 см.

 

Розв'язання:

Використовуємо дві формули обчислення площі:  SΔ=aha2 і SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

 

Менша висота у трикутнику та, яка проведена до більшої сторони, тому a=15 см.

 

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16⋅1⋅3⋅12−−−−−−−−−−√=24(см2)

Складаємо рівняння:

                        

15⋅h2=24∣∣⋅215⋅h=48h=4815=3,2(см)

Іноді формула Герона використовується для обчислення площі паралелограма, якщо дано сторони паралелограма і його діагональ.

Приклад:

3. Дано паралелограм зі сторонами 17 см і 39 см, довжина діагоналі дорівнює 44 см. Обчислимо площу паралелограма.  

 

Розв'язання:

 

Діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника. Використовуємо результат, отриманий у першому прикладі:

 

Sпаралелограма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2)

Площа трапеції

Трапеція має одну пару паралельних сторін, отже, має одну висоту — перпендикуляр, проведений між паралельними сторонами.

 

Найчастіше висоту трапеції проводять з вершин або через точку перетину діагоналей.

 

 

Площу трапеції визначимо як суму площ трикутників, на які трапецію ділить діагональ.
 

 

SABCD=SABD+SDBCSABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==(AD+BC)⋅BE2

 

Якщо позначити паралельні сторони (основи) трапеції через a і b, висоту через h, то:

 

Sтрап=a+b2⋅h

Зверни увагу!

Важливі наслідки:

 

1. Якщо висоти трикутників рівні, то їх площі відносяться як довжини основ.

 

2. Якщо основи трикутників рівні, то їх площі відносяться як довжини висот.

 

3. Якщо висоти трикутників рівні і їх основи рівні, то вони рівновеликі, наприклад, медіана ділить трикутник на дві рівновеликі частини.