Медіани, бісектриси і висоти трикутника. Рівнобедрений трикутник

Теорія:

Перпендикуляр від точки до прямої

Відрізок AC називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої a, якщо відрізок AC і пряма a перпендикулярні.

Точка C називаєьтся основою перпендикуляра.

Від точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і притому тільки один.

  

Доведемо, що від точки A, що не лежить на прямій BC можна провести перпендикуляр до цієї прямої.

 

Припустимо, що дано кут ∡ABC.

 

Відкладемо від променя BC кут, що дорівнює даному, і сумістимо ці кути накладанням (уявімо, що складаємо аркуш паперу з рівними кутами по стороні BC).
Сторона BA суміститься зі стороною BA1.

При цьому точка A накладеться на деяку точку A1.

Отже, поєднується кут ∡ACB з кутом ∡A1CB.

Але кути∡ACB і∡A1CB — суміжні, значить кожен з них прямий.

 

ПрямаAA1 перпендикулярна прямій BC, а відрізок AC є препендікуляром від точки A до прямої BC.
Якщо припустити, що через точку A можна провести ще один препендікуляр до прямої BC, то він би перебував на прямій, що перетинається з AA1. Але мають бути дві перпендикулярні прямі, відкладені до однієї й тієї самої прямої паралельними і не можуть перетинатися.
Дістали суперечність, отже: через дану точку до прямої можна провести тільки один перпендикуляр.

Медіани, бісектриси і висоти трикутника

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Тому для побудови медіани необхідно виконати такі дії:
1) Знайти середину сторони;
2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежним відрізком - це і буде медіана.

У трикутника три сторони, отже, можна побудувати три медіани.

Усі медіани перетинаються в одній точці.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

Тому, для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:
1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини);
2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;
3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

У трикутника три кути і три бісектриси.

Усі бісектриси перетинаються в одній точці.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Тому для побудови висоти необхідно виконати такі дії:
1) Провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);
2) З вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити перпендикуляр до неї (перпендикуляр - це відрізок, проведений з точки до прямої, який утворює з нею кут 90°) — це і буде висота.

Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти.

Висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Але, як згадано вище, для деяких видів трикутників побудова висот і точки їх перетину відрізняється.
Якщо трикутник з прямим кутом, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін.

 

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, перебуватимуть за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинаються за трикутника.

 

Зверни увагу!

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим відрізком.

Рівнобедрений трикутник

Якщо в трикутника дві сторони рівні, то такий трикутник називають рівнобедреним.

Рівні сторони називають бічними, а третю сторону — основою трикутника.

AB=BC — бічні сторони, AC — основа трикутника.

Якщо в трикутника всі три сторони рівні, то такий трикутник є рівностороннім.

Рівнобедрений трикутник має деякі властивості, яких не мають трикутники з різними сторонами.

1. У рівнобедренному трикутнику кути, прилеглі до основи, рівні.
2. У рівнобедренному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.
3. У рівнобедренному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.
4. У рівнобедренному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.

 

Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з кута, протилежного до основи, провести бісектрису BD.

Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою AC і доведемо, щоΔABD=ΔCBD.

Нехай BD — бісектриса трикутника ABC.  ΔABD=ΔCBD за першою ознакою рівності трикутників (AB=BC за умовою; BD — спільна сторона, ∡ABD=∡CBD, оскільки BD — бісектрисою).

 

У рівних трикутників рівні всі відповідні елементи:

1. ∡A=∡C — доведено, що прилеглі до основи кути рівні.

2. AD=DC — доведено, що бісектриса є медіаною.

3. ∡ADB=∡CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180°, рівні, то кожен з них дорівнює90°, тобто медіана є висотою.

 

Можна дуже легко самостійно довести третю і четверту властивості.