Показникові нерівності

Показниковими нерівностями називають нерівності виду af(x)>ag(x),

де a - додатне число, відмінне від 1, і нерівності, що зводяться до цього виду.

Нерівності вирішуються за допомогою властивості зростання або спадання показникової функції:

- для зростаючої функції більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу

- для спадної функції більшому значенню функції відповідає меньше значення аргументу.

 

Показникова функція y=ax зростає при a>1

 

 

і спадає при 0<a<1

 

 

 

Показникова нерівність af(x)>ag(x) рівносильна нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо a>1

Приклад:

Розв'язати нерівності: 22x−4>64 

Маємо 22x−4>26 

Ця нерівність рівносильна нерівності того ж змісту 2x−4>6, т.я. основа рівна 2>1 ( a>1),

звідки знаходимо x>5.

Показникова нерівність af(x)>ag(x) рівносильна нерівності протилежного змісту f(x)<g(x),  якщо 0<a<1.

Приклад:

Розв'язати нерівність: (13)2x−3,5<13√ 

Скориставшись тим, що 13√=(13)12, перепишемо задану нерівність у вигляді: (13)2x−3,5<(13)0,5.

Тут основою є число 0<13<1. 

Отже, розглянута нерівність рівносильна нерівності протилежного змісту 2x−3,5>0,5,

звідки знаходимо x>2.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл .: Підруч. для загальноосвіт. установ. — 2-е вид. — М.: Мнемозина, 2001. —335 с: іл., стор. 259.