Арккосинус і рівняння cos x=a

Тригонометричне рівняння — рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

 

Рівняння виду  sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=aназиваються найпростішими тригонометричними рівняннями.

Рівняння  cosx=a

Якщо |a|>1 , то рівняння cosx=a не має коренів.

Например, рівняння cosx=−1,5 не має коренів.

Якщо |a|≤1, то корені рівняння виражаються формулою x=±arccosa+2πk,k∈Z

  

Що ж таке arccosa? Арккосинус в перекладі з латинської означає дуга і косинус. Це зворотна функція.

Якщо |a|≤1, то arccosa (арккосинус а) - це таке число з відрізка [0;π], косинус якого дорівнює а.

Говорячи інакше:

arccosa=x⇒cosx=a,|a|≤1,x∈[0;π]

Приклад:

Знайти arccos2√2

Вираз arccos2√2  показує, що косинус кута  x дорівнює 2√2  (cosx=2√2).

  

Далі просто знаходимо точку цього косинуса на числовому колі, що і є відповіддю:

 

число , що є значенням осі x, відповідає точціπ4 на числовому колі.

Отже, arccos2√2=π4 

Зверни увагу!

якщо cosπ4=2√2, тоarccos2√2=π4

У першому випадку по точці на числовому колі визначаємо значення косинуса, а в другому - навпаки, за значенням косинуса знаходимо точку на числовому колі. Рух у зворотний бік. Це і є арккосинус.

Теорема. Для будь-якого a∈[−1;1] виконується рівність arccosa+arccos(−a)=π

Окремі випадки:

1.cosx=0⇒x=π2+πk,k∈Z

2.cosx=1⇒x=2πk,k∈Z

3.cosx=−1⇒x=π+2πk,k∈Z

Приклад:

Розв'язати рівняння cosx=25

Використаємо формулу x=±arccosa+2πk,k∈Z і отримаємо відповідьx=±arccos25+2πk,k∈Z

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра і початки математичного аналізу 10 - 11 класи, 1 частина. М: 2009, 87 c.