Функція y=arcctgx

Функція y=ctgx монотонна на кажному із наступних інтервалів: (−π;0),(0;π),(π;2π) і т.д.

Отже, на кожному із зазначених проміжків функція y=ctgx має зворотну функцію.

 

Це різні зворотні функції, але зазвичай вибирають функцію, обернену до функції y=ctgx, де x∈(0;π)

Її позначають x=arcctgy. Помінявши, як зазвичай, x і y месцями, отримаємо y=arcctgx, тобто функцію, зворотну до функції y=ctgx, деx∈(0;π).

 

Тому, графік функції y=arcctgxможна отримати з графіку функції y=ctgx, x∈(0;π) за допомогою перетворення симетрії відносно прямої y=x.

 

 

Властивості функції y=arcctgx

1. D(f)=(−∞;+∞)

 

2. E(f)=(0;π)

 

3. Функція не є ні парною, ні непарною, оскільки графік функції не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі y.

 

4. Функція спадає.

 

5. Функція безперервна.

 

arcctga - це таке число з інтервала (0;π), котангенс якого дорівнює a

 

Отже, arcctga=t⇔{ctgt=a,0<t<π;ctg(arcctga)=a

 

Для арккотангенса має місце співвідношення, аналогічне для арккосинуса

 arcctg(−a)=π−arcctga

 

Джерела:

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра та початок математичного аналізу: підр. для 10кл. Вид. "Мнемозіна" Москва, 2009.