Перетворення виразу A sin x+ B cos x до виду C sin (x+t)

Перетворення виразу  A ⋅sin x+ B ⋅cos x до виду C⋅sin(x+t)

На практиці, наприклад при вивченні коливань, досить часто зустрічаються вирази виду  A ⋅sin x+ B ⋅cos x, причому виникає необхідність звести цю суму до однієї тригонометричної функції.

 

Розглянемо для прикладу вираз 3√sinx+cosx. Якщо переписати даний вираз у вигляді 2⋅(3√2sinx+12cosx) и врахувати, що 3√2=cosπ6,12=sinπ6, то можна помітити, що вираз в дужках являє собою праву частину формули "синус суми" для аргументів x і π6.

Таким чином, 2⋅(3√2sinx+12cosx)=2⋅(cosπ6sinx+sinπ6cosx)=2sin(x+π6).

Отже, 3√sinx+cosx=2sin(x+π6).

 

Вираз виду  A ⋅sin x+ B ⋅cos x (для випадку, коли A=3√,B=1) ми перетворили до виду C⋅sin(x+t).

Точніше, у нас вийшло, що C=2, t=π6.

 

Зверни увагу!

Що C=A2+B2−−−−−−−√. Насправді A2+B2=(3√)2+12=4=22=C2.

 

Виявляється, це невипадково - на подібній ідеї засноване перетворення будь-якого виразу  A ⋅sin x+ B ⋅cos x.

 

Введемо позначення: C=A2+B2−−−−−−−√. Зауважимо, що (AC)2+(BC)2=1.

Насправді, (AC)2+(BC)2=A2C2+B2C2=A2+B2C2=C2C2=1.

 

Це означає, що пара чисел - AC, BC задовольняє рівняння x2+y2=1, тобто точка з координатами (AC;BC) лежить на числовому колу. Але тоді AC є косинус, а BC - синус деякого аргументу t, тобто AC=cost,BC=sint.

 

Враховуючи все це, попрацюємо з виразом  A ⋅sin x+ B ⋅cos x:

A⋅sinx+ B⋅cosx=C⋅(ACsinx+BCcosx)=C(cost⋅sinx+sint⋅cosx)=C⋅sin(x+t).

Отже, A⋅sinx+ B⋅cosx=C⋅sin(x+t), де C=A2+B2−−−−−−−√.

Зазвичай аргумент t називають допоміжним аргументом.

 

 

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра і початки математичного аналізу 10 - 11 класи, 1 частина. М: 2009, 230c.