Блог Басараби Марії Михайлівни: Метод Лагранжа (теорія квадратичних форм)

понеділок, 15 лютого 2016 р.

Метод Лагранжа (теорія квадратичних форм)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Метод Лагранжа — метод зведення квадратичної форми до канонічного виду.

Опис

Метод полягає в послідовному виділенні в квадратичній формі повних квадратів. Нехай нам дана квадратична форма:

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j

Можливі два випадки:

хоча б один з коефіцієнтів $a_{ii}$ біля квадратів відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, будемо вважати що $a_{11} \neq 0$ (чого можна добитись перестановкою змінних);
Всі коефіцієнти $a_{ii} = 0, i = \overline{1, n}$ (квадратична форма вироджена), але є коефіцієнт $a_{ij}, i \neq j$ , відмінний від нуля (нехай $a_{12} \neq 0$ ).

В першому випадку перетворюємо квадратичну форму таким чином:

f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =

= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f_1(x_2, x_3, ..., x_n) =

= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f_2(x_2, x_3, ..., x_n)

, де

~y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+ a_{1n}x_n

, а через

~f_2(x_2, x_3, ..., x_n)

позначені решта доданків.

~f_2(x_2, ..., x_n)

являє собою квадратичну форму від n-1 змінних

~x_2, x_3, ..., x_n

.
Її перетворюють аналогічно, і так далі.
Варто зауважити, що

y_1 = \frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial x_1}

Інший випадок заміною змінних

~x_1 = y_1 + y_2, x_2 = y_1 - y_2, x_3 = y_3, ..., x_n = y_n

зводиться до першого.

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)