Блог Басараби Марії Михайлівни: Гіпербола (математика)

неділя, 14 лютого 2016 р.

Гіпербола (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні площиною.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Визначення

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:^[1]

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

де

a > 0

та

b > 0

— параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.^[2]
Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

y^2 = 2px - (1 - \varepsilon^2)x^2.

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких

\varepsilon \ge 0

(ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо

\varepsilon > 1

.^[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює

2a

(фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює

e

.^[2]

Властивості

Гіпербола та її фокуси.
Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.
Рівнобічна гіпербола.

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи

a = b

, то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

u = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y), \qquad v = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y),

рівняння рівнобічної гіперболи

x^2 - y^2 = a^2

матиме вигляд:

uv = 2a^2

звідки випливає, що по відношенню до координат

u

та

v

рівнобічна гіпербола являє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах

x

та

y

маємо такий саме графік обернений на кут

\frac{\pi}{4}

.^[2]
При

u \to \pm \infty

(а також при

v \to \pm \infty

) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис

v=0

(відповідно, до осі ординат

u=0

), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах

x

y

ці асимптоти є бісектрисами

y = x

та

y = -x

координатних кутів.^[2]
З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

число $a$ , що зветься дійсною напіввіссю;
число $b$ , що зветься уявною напіввіссю;
число $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , що зветься лінійним ексцентриситетом;
число $2c$ , що зветься фокусною відстаню;
число $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ , що називається числовим ексцентриситетом;
число $p=\frac{b^2}{a}$ , що зветься фокальним параметром;
вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
вісь ординат, що зветься уявною віссю;
точка $O(0,0)$ , що зветься центром;
точки $(\pm a, 0)$ , що звуться вершинами;
точки $(\pm c, 0)$ , що звуться фокусами;
прямі $x = \pm \frac{a}{e}$ , що звуться директрисами.