Кулі Данделена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В геометрії, кулі Данделіна — це одна або дві кулі, які є дотичними (які торкаються) як до площини, так і до конусу, який перетинає цю площину. Перехрестя конуса і площини — конічна секція, і пункт, в якому будь-яка куля торкається площини, є центром конічної секції. Таким чином, кулі Дантеліна також іноді називають центральними кулями.^[1]
У 1822 були виявлені кулі Данделіна.^[1] Їх називають на честь бельгійського математика П'єра Данделі^[ru], хоча Адольф Кетле також вніс свій внесок. ^[2] Кулі Данделін можуть використовуватися, щоб довести принаймні дві важливих теореми. Обидві з тих теорем були відомі протягом багатьох століть перед Данделеном, але він полегшив їх доводження.
Перша теорема — те, що закрита конічна секція (тобто еліпс) є місцем розташування точок таким чином, що сума відстаней до двох фіксованих точок постійна. Це було відомо давньогрецьким математикам, таким як Аполлоній Перзький, але сфери Данделін полегшують цей доказ.
Друга теорема — про те, що для будь-якої конічної секції, відстань від фіксованої точки (центра) пропорційно відстані від фіксованої лінії, константи пропорційності, званої оригінальністю. Знову, ця теорема була відома древнім грекам, таким як Паппус Олександрії, але кулі Дантелін полегшують доказ^[3].
У конічної секції є одна куля Дантеліна для кожного центру. Зокрема у еліпса є дві кулі Дантелін, обидві торкаються того ж самого покриву конуса. У гіперболи є дві кулі Дантелін, які торкаються протилежних покривів конуса. У параболи є всього одна куля Дантелін.

Доказ того, що кривої має постійну суму відстаней до фокусів

Розгляньте ілюстрацію, зображена площина перетинає конус, щоб сформувати еліпс (інтер'єр еліпса забарвлений в блакитний). Дві кулі Дантелін показують, що одна куля (G1) вище еліпса а одна (G2) нижче. Перехрестя кожної сфери з конусом — коло (пофарбований у білий).

• Кожна сфера торкається площини в пункті, давайте назвемо ці два пункти F₁ і F₂.

Припустимо, Р — точка на еліпсі.

• Доведіть: сума відстаней d(F₁, P) + d(F₂, P) залишається постійною, оскільки пункт P проходить через криву .

• Лінія, що проходить через P і вершину S конуса, перетинає ці два кола в пунктах P₁ і P₂ .

• Оскільки P пересікає еліпс, P₁ і P₂ проходять ці два кола.

• Відстань від F₂ до P збігається з відстанню від P₁ до P, бо лінії PF₁ і PP₁ є тангенсом до тієї ж самої кулі (G₁) .

• Аналогічно, відстань від F₂ до P збігається з відстанню від P₂ до P, бо лінії PF₂ і PP₂ є тангенсом до тієї ж самої кулі (G₂).

• Отже, сума відстаней d(F₁, P) + d(F₂, P) повинна бути постійною, оскільки P проходить через криву, бо сума відстаней d(P₁, P) + d(P₂, P) також залишається постійною.

• Це випливає з факту, що P знаходиться на прямій лінії від P₁ до P₂ , і відстань від P₁ до P₂ залишається постійною.

Це доводить результат, який був доведений способом Аполлонія Перзького
Якщо (як часто робиться) перший бере визначення еліпса, щоб бути місцем розташування точок P таким чином, що d(F₁, P) + d(F₂, P) = константа, то аргумент вище доводить, що перехрестя плошини з конусом — дійсно еліпс
Адаптація цього аргументу працює на гіперболі і параболі як перехрестя площини з конусом. Інша адаптація як перехрестя площини з правильним круглим циліндром.

Доказ власності центру-директриси

Директриса конічної секції може бути знайдена, використовуючи формулу Дантелін . Кожна куля Дантелін перетинає конус в колі ; дозвольте обом з цих кіл визначити свої власні площини Перехрестя цих двох паралельних площин з пощиною конічної секції будуть двома паралельними лініями; ці лінії — directrices конічної секції. Однак парабола має тільки одну кулю Дантелін, і таким чином має тільки одну директрису^[4].
Використовуючи кулі Дантелі, можна довести, що будь-яка конічна секція — місце розташування пунктів, для яких відстань від пункту пропорційна відстані від directrix . Давньогрецькі математики, такі як Папп Александрійський знали про ці властивості, але кулі Дантелі полегшують доказ.
Ні Денделін, ні Кетле не використали сфери Денделіна, щоб довести власність центру — директриси . Власність центру — директриси важлива для доказу, що астрономічні об'єкти проходять конічні секції навколо Сонця^[5].