Шукати в цьому блозі

неділя, 14 лютого 2016 р.

Квадріка


Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Квадріка — n-мірна гіперповерхня в n+1-мірному просторі, задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати {x1, x2, ..., xn+1} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадріка має вигляд[1]
\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0.
Це рівняння можна переписати більш компактно в матричних позначеннях:
x Q x^T + P x^T + R = 0\,
де x = {x1, x2, ..., xn+1} — вектор-рядок, xT — транспонований вектор, Q — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий), P — вектор-рядок, а R — константа. Найбільш часто розглядають квадріки над дійсними або комплексними числами. Визначення можна поширити на квадріка в проективному просторі.
Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебраїчний многовид. Таким чином, квадріка є (аффінним або проективним) алгебраїчним многовидом другого ступеня і ковимірності 1.

Квадріка в евклідовому просторі

Квадріка на евклідовій площині відповідає випадку n = 1, тобто є кривими. Зазвичай їх називають не квадріками, а коніками або конічними перетинами.
Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.
Квадріки в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадріка в евклідовому просторі можна привести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм.[2] З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми включають в себе площині, прямі, точки і навіть квадріку без дійсних точок.[3]
Невироджені дійсні квадріки в евклідовому просторі
    Еліпсоїд {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \, Ellipsoid Quadric.png
    Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \, Oblate Spheroid Quadric.pngProlate Spheroid Quadric.png
    Сфера (спеціальна форма сфероїда) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \, Sphere Quadric.png
    Еліптичний параболоїд {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Paraboloid Quadric.Png
    Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \, Circular Paraboloid Quadric.png
    Гіперболічний параболоїд {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Hyperbolic Paraboloid Quadric.png
    Однопорожнинний гіперболоїд {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \, Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png
    Двопорожнинний гіперболоїд {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \, Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png
Вироджені квадріка в евклідовому просторі
    Еліптичний конус {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Elliptical Cone Quadric.Png
    Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - {z^2 \over b^2} = 0 \, Circular Cone Quadric.png
    Еліптичний циліндр {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \, Elliptic Cylinder Quadric.png
    Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндру) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1 \, Circular Cylinder Quadric.png
    Гіперболічний циліндр {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \, Hyperbolic Cylinder Quadric.png
    Параболічний циліндр x^2 + 2ay = 0 \, Parabolic Cylinder Quadric.png

Афінний та проективний простір

Класифікація квадрік в тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрік в евклідовому просторі.[4] Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадріка з одного класу можна перевести один в одного афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд x^2+y^2+z^2=1 неможливо перевести рухом в еліпсоїд 2x^2+2y^2+2z^2=1).
Від квадріка в афінному просторі можна перейти до квадріка в проектному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати (x_1,x_2,\ldots x_{n+1}), тоді в рівнянні квадріка достатньо помножити лінійні члени на x_0, а вільний член на x_0^2. Рівняння проективної квадріка в однорідних координатах має вигляд
Q(x)=\sum_{ij} a_{ij}x_ix_j=0.
Без обмеження спільності можна вважати, що матриця Q симетрична, тобто a_{ij}=a_{ji}. Проективна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.
У дійсному проективному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратну форму можна привести (проективним перетворенням) до вигляду
Q(x) = \pm x_0^2 \pm x_1^2 \pm\cdots\pm x_{n+1}^2
Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентності:
Q(x) = \begin{cases} x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2 \end{cases}
Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадріка є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проективному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проективному просторі все невироджені квадріка еквівалентні.

Імовірність і статистика

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:
f(x)= k \cdot g((x-\mu)\Sigma^{-1}(x-\mu)^T)
де k це масштабний коефіцієнт, x це n-мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором \mu, \Sigma це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та g є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою.[5] Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якомуg(z)=e^{-z/2} для квадратичної форми z.
Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.
Опубліковано о
Мітки: ,

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)