Шукати в цьому блозі

понеділок, 15 лютого 2016 р.

Характеристика Ейлера


Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору X зазвичай позначається \chi(X).

Визначення

где k_i означає число клітинок розмірности i.
Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні і обнуляються для всіх достатньо великих індексів.
*Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості

  • Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
    • Зокрема, ейлерова характеристика є інваріант топологічний.

Ейлерова характеристика поліедрів

  • Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути порахована за формулою: \chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} де Г, Р і В число граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь якого многогранника справедлива формула Ейлера:
    \Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2.
Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду (поверхні) S без границі існує Формула Ґауса-Бонне, що зв'язує ейлерову характеристику \chi(S) з кривиною Ґауса K многовиду:
\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),
де d\sigma — елемент площі поверхні S.\
Існує узагальнення формули Ґауса-Бонне для двовимірного многовиду з краєм.
  • Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Чернаабо Узагальнена формула Ґауса-Бонне.
  • Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на 2\pi.[1]
  • Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані і неорієнтовані поверхні

  • Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками виражаєтся формулою: \chi(X)=2-2g, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як \chi(X)=2-g.

Величина характеристики Ейлера

Назва Вид Ейлерова характеристика
Відрізок Complete graph K2.svg 1
Коло Cirklo.svg 0
Круг Disc Plain grey.svg 1
Сфера Sphere-wireframe.png 2
Тор
(добуток двох кіл)		 Torus illustration.png 0
Подвійний тор Double torus illustration.png −2
Потрійний тор Triple torus illustration.png −4
Проективна поверхня Steiners Roman.png 1
Стрічка Мебіуса MobiusStrip-01.svg 0
Пляшка Клейна KleinBottle-01.svg 0
Дві сфери (незв'язані) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Три сфери Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

Історія

У 1752 році Ейлер [2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді
~S+H=A+2,
де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.
Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році [3].
У 1899 році Анрі Пуанкаре [4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:
\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},
де A_i — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.
\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.
Опубліковано о
Мітки:

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)