Шукати в цьому блозі

понеділок, 15 лютого 2016 р.

Теорема Кронекера — Капеллі


Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
A\bold{x}=\bold{b}.
СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці \ A дорівнює рангу її розширеної матриці \ B=[A | \bold{b}].
Причому система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих, і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менше кількості невідомих.

Необхідність

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: \ x_1, \dots, x_n такий, що \ \bold{b} = x_1 a_1 + \dots + x_n a_n. Тобто, стовпець \ \bold{b} є лінійною комбінацією стовпців матриці \ A.
Отже \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B.

Достатність

Нехай \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B = r. Візьмемо у матриці \ A будь-який базисний мінор. Так як \operatorname{rang} B = r , то він буде базисним мінором і для матриці \ B.
Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці \ B буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці \ A.
Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці \ A, коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.
Опубліковано о
Мітки:

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)