Координати точки й вектора

Координати точки

Три попарно перпендикулярні прямі з вибраними напрямами і одиницею виміру утворюють систему координат у просторі. Точка перетину всіх прямих є початком системи координат.

 

 

Вісі координат Ox, Oy і Oz називаються відповідно: Ox — вісь абсцис, Oy — вісь ординат, Oz — вісь аплікат.
Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину. Отримуємо три координатні площини: (Oxy), (Oyz) і(Oxz).

 

 

Положення точки A у просторі визначається трьома координатами: x, y і z.

 

 

Координата x називається абсцисою точки A, координата y — ординатою точки A, координата z — аплікатою точки A.
Записуються так: A(x;y;z).

Якщо точка знаходиться на осі Ox, то її координати X(x;0;0).

Якщо точка знаходиться на осі Oy, то її координати Y(0;y;0).

Якщо точка знаходиться на осі Oz, то її координати Z(0;0;z).

 

Якщо точка знаходиться в площині Oxy, то її координати A1(x;y;0).

Якщо точка знаходиться в площині Oyz, то її координати A2(0;y;z).

Якщо точка знаходиться в площині Oxz, то її координати A3(x;0;z).

Координати вектора

 

Якщо в системі координат від початкової точки відкласти одиничні вектори i⃗ , j⃗  і k⃗ , о можна визначити прямокутний базис. Будь-який вектор можна розкласти за одиничними векторами й представити у виглядіOA−→−=x⋅i⃗ +y⋅j⃗ +z⋅k⃗ .

Коефіцієнти x, y і z визначаються одним єдиним чином і називаються координатами вектора.

 

Записуються так: OA−→−{x;y;z}.

Розглянемо правила про те, як за допомогою координат записати:

 

- координати суми векторів, якщо дано координати векторів:

a⃗ {x1;y1;z1}, b⃗ {x2;y2;z2}, a⃗ +b⃗ {x1+x2;y1+y2;z1+z2}

 

- координати різниці векторів, якщо дано координати векторів:
 a⃗ −b⃗ {x1−x2;y1−y2;z1−z2}

 

- координати добутку вектора на число, якщо дано координати вектора:

n⋅a⃗ {n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1}

 

- довжину вектора:

|a⃗ |=x21+y21+z21−−−−−−−−−−−√

- координати вектора, якщо дано координати початкової і кінцевої точки вектора:

A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB), AB−→−{xB−xA;yB−yA;zB−zA}

 

- відстань між двома точками, якщо дано координати точок:

∣∣AB−→−∣∣=|AB|=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

 

- координати серединної точки відрізка, якщо дано координати початкової і кінцевої точки відрізка:

xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2