Кут між векторами. Скалярний добуток векторів

Кут між векторами

Два вектори a⃗  і b⃗  завжди утворюють кут.

Кут між векторами може приймати значення від 0° до 180° включно.

Якщо вектори не паралельні, то їх можна розташувати на прямих, що перетинаються.

Вектори можуть утворити:

1. Гострий кут

2. Тупий кут

3. Прямий кут (вектори перпендикулярні)

Якщо вектори розташовані на паралельних прямих, то вони можуть утворити:

4. Кут величиною 0° (вектори співнапрямлені)

5. Кут величиною 180° (вектори протилежно напрямлені)

Якщо один з векторів або обидва вектори нульові, то кут між ними буде дорівнювати 0°.

Кут між векторами записують так:

a⃗ b⃗ ˆ=α

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅∣∣b⃗ ∣∣⋅cos(a⃗ b⃗ ˆ)

Результат скалярного добутку векторів є числом (на відміну від результату розглянутих раніше дій з векторами — додавання, віднімання та множення на число. У таких випадках результатом був вектор). При множенні вектора на вектор виходить число, так як довжини векторів — це числа, косинус кута — число, відповідно, їх добуток також буде числом.

1. Якщо кут між векторами гострий, то скалярний добуток буде додатним числом (так як косинус гострого кута — додатне число).
Якщо вектори співнапрямлені, то кут між ними буде дорівнювати 0°, а косинус дорівнювати 1, скалярний добуток також буде додатним.

2. Якщо кут між векторами тупий, то скалярний добуток буде від'ємним (так як косинус тупого кута — від'ємне число).
Якщо вектори напрямлені протилежно, то кут між ними буде дорівнювати 180°. Скалярний добуток також від'ємний, так як косинус цього кута дорівнює −1.

Справедливі і зворотні твердження:
1. Якщо скалярний добуток векторів - додатне число, то кут між даними векторами гострий.

2. Якщо скалярний добуток векторів - від'ємне число, то кут між даними векторами тупий.

Особливий третій випадок:

Зверни увагу!

3. Якщо кут між векторами прямий, то скалярний добуток векторів дорівнює нулю, так як косинус прямого кута дорівнює 0.

Зворотне судження: якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.

Вектор, помножений на самого себе буде числом, яке називається скалярним квадратом вектора. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини даного вектора і позначається як a⃗ 2.

Властивості скалярного добутку

Для будь-яких векторів і будь-якого числа справедливі наступні властивості:

1. a⃗ 2≥0, до того ж a⃗ 2>0 якщо a⃗ ≠0⃗ .

2. Пересувний або комутативний закон скалярного добутку: a⃗ ⋅b⃗ =b⃗ ⋅a⃗ .

3. Розподільний або дистрибутивний закон скалярного добутку: (a⃗ +b⃗ )⋅c⃗ =a⃗ ⋅c⃗ +b⃗ ⋅c⃗ .

4. Сполучний або асоціативний закон скалярного добутку: k⋅(a⃗ ⋅b⃗ )=(k⋅a⃗ )⋅b⃗ .

Використання скалярного добутку

Зручно використовувати скалярний добуток векторів для визначення кутів між прямими і між прямою і площиною.

  

Кут між прямими

 

Ознайомимося з ще одним визначенням.

Вектор називається направляючим вектором прямої, якщо він знаходиться на прямій або паралельний цій прямій.

Щоб визначити косинус кута між прямими, треба визначити косинус кута між направляючими векторами цих прямих, тобто знайти вектори, паралельні прямим, і визначити косинус кута між векторами.
Для цього необхідно розглянути визначення скалярного добутку, якщо вектори дані в координатній системі.

Якщо a⃗ {x1;y1;z1}, b⃗ {x2;y2;z2}, то a⃗ ⋅b⃗ =x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2.

Насамперед була розглянута формула визначення довжини вектора в координатній формі.
Тепер, об'єднавши ці формули, отримаємо формулу для визначення косинуса кута між векторами в координатній формі. Так як з формули скалярного добутку випливає, що cosα=a⃗ ⋅b⃗ |a⃗ |⋅∣∣b⃗ ∣∣, то

cosα=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2x21+y21+z21 −−−−−−−−−−−−√⋅x22+y22+z22−−−−−−−−−−−−√.

  

Кут між прямою і площиною  

Введемо поняття про нормальний вектор площини.

Нормальний вектор площини — це будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій, перпендикулярній до даної площини.

Використовуючи наступний малюнок, легко довести, що косинус кута β між нормальним вектором n⃗  даній площині і якимсь вектором b⃗  дорівнює синусу кута α між прямою і площиною, так як α і β разом утворюють кут у 90°.

При знаходженні косинуса кута між n⃗  і b⃗  можна використовувати це число як синус кута між прямою, на якій лежить вектор b⃗ , і площиною.