Біноміальна формула Ньютона

Теорія:

 

Біноміальна формула Ньютона:

(a+b)n==C0nanb0+C1nan−1b1+C2nan−2b2+C3nan−3b3+...+Cknan−kbk+Cn−1na1bn−1+Cnna0bn

 

Права частина формули називається розкладанням степеня бінома.

Ckn — називається біноміальними коефіцієнтами, а всі складові — членами бінома.

Біноміальні коефіцієнти — це ті числа, які складають трикутник Паскаля. 

 

Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2n.

  

(a+b)0=1(a+b)1=1⋅a+1⋅b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4   C00=1Cnn=1C1n=n

Приклад:

1. Напиши розкладання степеня бінома.

(x−2y)6=(x+(−2y))6==x6+6x5(−2y)+15x4(−2y)2+20x3(−2y)3+15x2(−2y)4++6x(−2y)5+(−2y)6==x6−12x5y+60x4y2−160x3y3+240x2y4−192xy5+64y6

  

2. Обчисли середній член розкладання (3a+b)6

Розв'язок:

В розкладанні 6+1=7 членів, отже, середній член — четвертий.

 

T4=T3+1=C36(3a)6−3⋅b3=6⋅5⋅43⋅2⋅1⋅27a3b3=540a3b3

 

3. Обчисліть член розкладання (x2+1x)12, який містить x3  

Розв'язок:

Tk+1=Ck12(x2)12−k⋅(x−1)k=Ck12x24−2k⋅x−k=Ck12x24−3k

 

Якщо член містить x3, то x24−3k=x3;  24−3k=3; k=24−33=7

Отже, це k+1=7+1=8. член.

 

T8=C712x3=C512x3=12⋅11⋅10⋅9⋅85⋅4⋅3⋅2⋅1⋅x3=95040120⋅x3=792x3

 

Відповідь: 8 член розкладання дорівнює 792x3

  

«Біном» з грецької мови перекладається як «двочлен».

Джерела:

Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. -18-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. — 464 с