Трикутник Паскаля

Для будь-яких значень n і m (0≤m≤n) дійсна рівність Cmn=Cn−mn

Знаючи дану властивість, можна прискорити розв'язання завдань.

Приклад:

У магазині 7 різних майок. Галя хоче приміряти 2 майки, а Аня хоче приміряти 5. Скільки існує можливостей кожної з дівчаток кожен раз вибрати новий комплект для примірки?

У Галі C27=7!2!(7−3)!=7⋅6⋅5⋅4!2⋅1⋅4!=105 можливостей вибрати майки, а у Ані — C57 можливостей.

Так як C57=C7−57=C27, то без обчислень зрозуміло, що у обох дівчаток однакова кількість можливостей: 105.

Для числа комбінацій в силі властивість: Cmn+1=Cm−1n+Cmn,(1≤m≤n)

 

Наприклад,  C13=C02+C12;C23=C12+C22.

 

Для будь-якого допустимого значення n в силі C0n=1Cnn=1

 

Використовуючи дві останні властивості, з комбінацій можна скласти трикутник Паскаля.

  

Трикутну таблицю прийнято називати трикутником Паскаля (на честь французького математика 17 ст.). Даний трикутник був відомий вже у другому столітті до нашої ери в стародавній Індії. У XII столітті він з'явився в роботах математиків Китаю. У Європі в XVI столітті його описав німецький математик М. Штіфель і потім Паскаль в XVII столітті.

Трикутник Паскаля складається з числових рядків (див. малюнок). У першій сходинці одне число, в другій — два, у третій — три, і т.д. Перше і останнє число кожного рядка дорівнює 1. Кожне з інших чисел дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел попереднього рядка.

 

 

Трикутник Паскаля з комбінаціями:

 

 

Використовуючи трикутник Паскаля, можна зробити висновок, що додавши числа в будь-якому рядку трикутника Паскаля, можна отримати степінь числа 2.

C0n+C1n+...+Cn−1n+Cnn=2n,якщоn=0;1;2;3;...

 

 

Джерела:

Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. -18-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. — 464 с