Комбінації

Комбінацією із n елементів по m елементів (m≤n) називається вибірка елементів m із даної невпорядкованої множини. 

Кількість комбінацій позначається як Cmn (читається: комбінації із n по m).

Комбінації обчислюються за формулою Cmn=n!m!(n−m)! 

Приклад:

1. Дано 3 елемента

a) Скількома способами можна вибрати 2 з них, якщо порядок неважливий?
Це можна зробити 3 способами — ; ; , за формулою: C23=3!2!⋅(3−2)!=3⋅2!2!⋅1!=3

 

b) Скількома способами можна вибрати 1 елемент, якщо порядок неважливий?
Це теж можна зробити 3 способами — ; ; , за формулою: C13=3!1!⋅(3−1)!=3⋅2!1!⋅2!=3

 

 

2. Скількома способами із 12 учнів можна вибрати 3 учнів?

Розв'язок:Так як порядок вибору учнів неважливий, потрібно обчислити комбінації по 3 елемента з 12 елементів, тобто n=12  и  m=3.

C312=12!3!(12−3)!=12!3!⋅9!=9!⋅10⋅11⋅123!⋅9!=10⋅11⋅121⋅2⋅3=13206=220

Відповідь: трьох учнів з 12 можна вибрати 220 різними способами.

 

 

3. Із 6 людей (2 жінок і 4 чоловіків) потрібно вибрати 1 жінку і 2 чоловіків. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язок:

Так як порядок вибору неважливий (зрештою команда буде тією ж), потрібно обчислити, скількома способами з 2 жінок можна вибрати 1, а з 4 чоловіків двох.

 

6люд.↙↘жін.2чол.4↓↓вибрати12

 

Кількість комбінацій жінок (n=2  і  m=1)

C12=2!1!(2−1)!=2!1!⋅1!=1⋅21⋅1=21=2

 

Кількість комбінацій чоловіків (n=4  і  m=2)

C24=4!2!(4−2)!=4!2!⋅2!=2!⋅3⋅42!⋅2!=3⋅41⋅2=122=6

 

Щоб отримати відповідь, використовується закон множення:

 C12⋅C24=2⋅6=12

Відповідь: із даних людей 1 жінку і 2 чоловіків можна вибрати 12 різними способами.

  

 

4. Чотирьом гравцям доміно роздається 28 кісток порівну. Скількома різними способами можна розділити кістки доміно?

Розв'язок:

Першому гравцеві дати кістки можна C728 способами.

Другому гравцеві дати кістки можна C721 способами.

Третьому гравцеві дати кістки можна C714 способами.

Четвертому гравцеві дати кістки можна C77=1 способом.

Всього кістки можна раздати C728⋅C721⋅C714⋅C77 способами.

 

Комбінації із n елементів по m елементів отримують, якщо з розміщень із n елементів по m елементів виключити ті вибірки, які відрізняються тільки порядком елементів.

Cmn=AmnPm

Джерела:

Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи: посібн. для загальноосвіт. установ: базовий рівень / [Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова та ін.]. -18-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. — 464 с