Степеневі функції.

Степеневі функції. Показник степеня натуральне число

Якщо показник степеня n — натуральне число, то степенева функція задається формулою y=xn.

При n=1,  y=x1 або y=x — пряма.

При n=2,  y=x2 — парабола.

При n=3, y=x3 — кубічна парабола.

Графік степеневої функції y=xn, де n — парне число (4,6,8...), приймає вигляд параболи.

 

Графік степеневої функції y=xn, де n — непарне число (5,7,9...), приймає вигляд кубічної параболи.

Степеневі функції. Показник степеня ціле від'ємне число

Теорія:

Якщо показник степеня — ціле від'ємне число, то степенева функція задається формулою y=x−n або y=1xn.

Графік степеневої функції y=x−n, у випадку, коли n — парне число (4,6,8...), приймає вигляд:

 

Наприклад, такий вигляд приймають графіки функцій y=x−4,y=x−8.

Графік степеневої функції y=x−n, у випадку, коли n — непарне число (5,7,9...), приймає вигляд гіперболи:

Наприклад, такий вигляд приймають графіки функцій y=x−5,y=x−11

Степеневі функції. Показник степеня дробове додатне число

Теорія:

Розглянемо графіки степеневих функцій y=xmn з позитивним дробовим показником mn.

1. Степенева функція y=xmn, де mn>1 — неправильний дріб (чисельник більше знаменника).

Графік — вітка параболи:

 Властивості функції y=xmn, де mn>1

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не є ні парною, ні непарною;

4. зростає при x∈[0;+∞);

5. не має найбільшого значення, yнайм.=0;

6. не обмежена зверху, обмежена знизу;

7. випукла вниз;

8. неперервна.

2. Степенева функція y=xmn, де 0<mn<1  — правильний дріб (чисельник менше знаменника).

 Властивості функції y=xmn, де 0<mn<1.

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не є ні парною, ні непарною;

4. зростає при x∈[0;+∞);

5. не має найбільшого значення, yнайм.=0;

6. не обмежена зверху, обмежена знизу;

7. випукла вгору;

8. неперервна.

Степеневі функції. Показник степеня дробове від'ємне число

Теорія:

Розглянемо степеневі функції з від'ємним дробовим показником степеня y=x−mn.

Графік — вітка гіперболи.

Графік має горизонтальну асимптоту у=0 і вертикальну асимптоту х=0.

 Властивості функції y=x−mn.

1.D(f)=(0;+∞);

2.E(f)=(0;+∞);

3. не є ні парною, ні непарною;

4. спадає при x∈(0;+∞);

5. не має ні найбільшого, ні найменшого значення;

6. не обмежена зверху, обмежена знизу;

7. випукла вниз;

8. неперервна.