Гомотетія

Гомотетія з центром O і коефіцієнтом k — це перетворення, в якому кожна точка P відображається такою точкою

 P1,щоOP1−→−=k⋅OP−→,деk≠0

Гомотетія — це перетворення подібності. Це перетворення, в якому виходять подібні фігури (фігури, у яких відповідні кути рівні і сторони пропорційні).

Для гомотетичних фігур F і F1 в силі формули відношення периметрів PF1PF=k і площ SF1SF=k2 подібних фігур.

  

Цікаво: будь-які дві окружності гомотетичні.

  

Щоб гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт. Це можна записати: гомотетія (O;k).

На малюнку з фігури F можна отримати фігуру F1 гомотетією (O;2).

 

 

 

Якщо фігури знаходяться на протилежних напрямках від центру гомотетії, то коефіцієнт від'ємний.

На наступному малюнку з фігури F можна отримати фігуру F1 гомотетією (O;−2).

 

 

Центр гомотетії може знаходитися і всередині фігури. Сірий трикутник із зеленого трикутника ABC отриманий гомотетією (O;12).

 

 

Гомотетія (O;−1) — це центральна симетрія або поворот на 180 градусів, в даному випадку фігури однакові.

 

 

На відміну від гомотетії, геометричні перетворення — центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення є рухом, тому в них фігура відображається у фігуру, рівну даній.

 

Гомотетичні фігури подібні, але подібні фігури не завжди гомотетичні (в гомотетії важливо розташування фігур).
В орнаментах (на малюнку фрактали) можна бачити безліч подібних фігур, але зазвичай вони не гомотетичні, тому у них неможливо визначити центр гомотетії.