Тригонометричні рівняння

Тригонометричне рівняння — рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

Основні методи рішення тригонометричних рівнянь:

1. Метод розкладання на множники.

Якщо рівняння  f(x)=0 вдається перетворити до вигляду f1(x)⋅f2(x)=0, то або f1(x)=0, або f2(x)=0.

У подібних випадках завдання зводиться до вирішення сукупності рівнянь: f1(x)=0; f2(x)=0

Приклад:

Розв'язати рівняння методом розкладання на множники (sinx−13)(cosx+25)=0

Задача зводиться до вирішення сукупності рівнянь: sinx=13;cosx=−25

З цих рівнянь знаходимо відповідно: x=(−1)karcsin13+πk,k∈Z;x=±arccos(−25)+2πk,k∈Z

Зверни увагу!

Врахуй, що перехід від рівняння f1(x)⋅f2(x)=0 до сукупності рівнянь f1(x)=0; f2(x)=0 не завжди безпечний.

Приклад:

Розглянемо рівняння tgx(sinx−1)=0.

 

З рівняння tgx=0 знаходимо: x=πk,k∈Z

З рівняння sinx=1 знаходимо: x=π2+2πk,k∈Z.

Але включити обидва рішення у відповідь не можна, оскільки при значеннях x=π2+2πk,k∈Zщо входять в задане рівняння, множник tgx не має змісту, тобто значення x=π2+2πk,k∈Z не належать області визначення рівняння, це сторонні корені.

2. Метод введення нової змінної.

Приклад:

Розв'язати рівняння методом введення нової змінної 2sin2x−5sinx+2=0

Введемо нову змінну z=sinx, тоді рівняння можна записати як 2z2−5z+2=0.

Знаходимо корені даного рівняння: z1=2,z2=12. Отже, або sinx=2, або sinx=12.

Рівняння sinx=2 не має коренів, а з рівняння sinx=12 знаходимо:  
x=(−1)karcsin12+πk,k∈Z;x=(−1)kπ6+πk,k∈Z