Формули синуса і косинуса суми і різниці аргументів.

Перед тим, як почати докладне ознайомлення з формулами перетворення тригонометричних виразів пояснимо, для чого взагалі потрібні перетворення тригонометричних виразів.

 

Справа в тому, що дуже часто тригонометричні вирази навіть самого "страхітливого" виду після нескладних перетворень досить легко приводяться до виразів з табличним значенням аргументу - таким, наприклад, як: 30°(π6),45°(π4),60°(π3)  ...або до таких виразів, рішення яких знайти набагато простіше, ніж рішення вихідного тригонометричного виразу. 

 

У цьому і полягає основна мета перетворення тригонометричних виразів - привести заданий вираз до такого виду, щоб знайти його рішення було простіше.

 

А засобом для досягнення цієї мети - її "інструментом" - і є формули перетворення тригонометричних виразів,

знайомство з якими ми почнемо з вивчення найбільш важливих з них - формул синуса і косинуса суми аргументів.

 

Саме ці формули вважаються основними і найбільш важливими формулами перетворення тригонометричних виразів, оскільки з цих формул без особливих зусиль виводяться практично всі фомули тригонометрії.

 

Доказ самих формул синуса і косинуса суми аргументів технічно досить складний і він не входить в базовий курс навчання. 

 

Примітка. Для стислості та спрощення надалі виключимо слово "аргументів" з назв формул - це загальноприйнята практика - і кажучи про формули синуса або косинуса суми (різниці) будемо розуміти, що це формули синуса або косинуса суми (різниці)  аргументів  цих функцій. 

 

Формула синуса суми:  sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny        (1)

 

Формула косинуса суми:  cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny       (2)

 

Розглянемо тепер вираз sin(x−y)  в такому вигляді   sin(x+(−y)) і скористаємося формулою синуса суми (1) : sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y).

 

Тепер згадаємо про властивість парності функції косинус:  cos(−y)=cosy

і властивості непарності функції синус:   sin(−y)=−siny.

 

Тоді :

sin(x+(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny

 

Формула синуса різниці:  sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny    (3)

Аналогично, представивши cos(x−y) в вигляді  cos(x+(−y)), скористаємося формулою косинуса суми (2) 

і властивостями парності функції косинус:  cos(−y)=cosy

і непарності функції синус:   sin(−y)=−siny

 

Тоді отримаємо:

cos(x+(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny

 

Формула косинуса різниці: cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny   (4)

 

 

Джерела:

Мордкович, А.Г. "Алгебра і початки математичного аналізу ". Частина 1.
Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень).

Москва, "Мнемозина", 2009