Формулы тангенса суммы и разности аргументов

Одними з основних і найбільш часто використовуваних формул перетворення тригонометричних виразів є формулитангенсасумиірізниціаргументів.
Вони встановлюють співвідношення між тангенсомзагальноїсумиаборізниціаргументів і тангенсамиокремихаргументів−доданків.

 

При всіх допустимих значеннях аргументів справедливі формули:

   тангенсасумиаргументів :          tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ  (1)

 

   тангенсарізниціаргументів :      tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ  (2)

Обмовка про допустимі значеннях аргументів означає, що всі тангенси мають сенс, тобто виконуються умови:

 

α≠π2+πk,β≠π2+πnk,n∈Z, 

α+β≠π2+πm,m∈Z  для формули (1), α−β≠π2+πm,m∈Z  для формули (2),

 

Ці формули дуже важливі і широко застосовуються не лише в математиці, але і у фізиці - особливо, в радіотехніці.

 

Виведення формул природним чином виходить з визначення функціїтангенс і використання вже відомих формул синусаікосинусасумиірізниціаргументів.

 

Доведемо формулу тангенсасумиаргументів. Маємо:

 

 tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

 

Розділимо кожний з доданків чисельника і знаменника на cosα⋅cosβ,

враховуючи, що значення дробу від цього не зміниться і, що cosα⋅cosβ≠0 з прийнятих вище умов
для допустимих значень аргументів, тобто α≠π2+πk,β≠π2+πnk,n∈Z. Тоді:

 

tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ+cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ−sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ,

що і треба було довести.

 

Аналогічно доводиться формула тангенсарізниціаргументів :

 

tg(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinα⋅cosβcosα⋅cosβ−cosα⋅sinβcosα⋅cosβcosα⋅cosβcosα⋅cosβ+sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ.

 

 

Джерела:

Мордкович, А.Г. "Алгебра і початки математичного аналізу ". Частина 1.
Підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень).

Москва, "Мнемозина", 2009