Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Речь пойдёт о формулах, которые позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

 

Рассмотрим выражение sin(s+t)+sin(s−t). Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим: (sins⋅cost+coss⋅sint)+(sins⋅cost−coss⋅sint)=2sins⋅cost.

 

Итак, sin(s+t)+sin(s−t)=2sins⋅cost.

 

Введём обозначения: x=s+t,y=s−t.

Если эти равенства сложить, получим: x+y=2s, т.е. s=x+y2.

 

Если же из равенства x=s+t вычесть равенство  y=s−t, получим x−y=2t,

т.е. t=x−y2. 

 

А теперь заменим в формуле sin(s+t)+sin(s−t)=2sins⋅cost x+t на x, s−t на y, s на x+y2, t на x−y2.

Тогда формула sin(s+t)+sin(s−t)=2sins⋅cost примет вид sinx+siny=2sinx+y2cosx−y2.

Приклад:

Рассмотрим пример: sin6x+sin4x=2sin6x+4x2cos6x−4x2=2sin5x⋅cosx.

Итак, sinx−siny=2sinx−y2cosx+y2.

Рассмотрим выражение cos(s+t)+cos(s−t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим: (coss⋅cost−sins⋅sint)+(coss⋅cost+sins⋅sint)=2coss⋅cost.

 

Итак, cos(s+t)+cos(s−t)=2coss⋅cost.

Введём обозначения:x=s+t,y=s−t,

получим (как при выводе формулыsinx+siny=2sinx+y2cosx−y2): 

 

cosx+cosy=2cosx+y2cosx−y2.

Итак, cosx−cosy=−2sinx+y2sinx−y2.

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10 - 11 классы, 1 часть. М: 2009, 225c.