Співвідношення між кутами й сторонами трикутника

Теорія:

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

 

Доведення.

 

Нехай у трикутнику ABC сторона AB більше сторони AC.

Доведемо, що ∡C>∡B.

 

Відкладемо на стороні AB відрізок, рівний стороні AC.
Оскільки AD<AB, то точка D лежить між точками A і B.
Отже, кут 1 є частиною кута C і, відповідно

∡C>∡1.

 

Кут 2 — зовнішній кут трикутника BDC, тому ∡2>∡B.

∡1=∡2 як кути при основі рівнобедреного трикутникаADC.

Таким чином, ∡C>∡1=∡2>∡B.              

 

Звідси випливає, що∡C>∡B.

 

Справедлива і зворотна теорема.

У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.

 

Слідство 1. Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений (ознака рівнобедреного трикутника).

 

Слідство 2.Якщо три кути трикутника рівні, то трикутник рівносторонній.

 

Слідство 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета.

Нерівність трикутника

Кожна сторона трикутника менше суми двох інших сторін.

 

Доведення.

 

Розглянемо трикутникABC і доведемо, що AB<AC+BC.

 

Продовжимо сторону AC й відкладемо відрізок CD=BC.

Трикутник BCD — рівнобедрений, отже∡1=∡2.

У трикутнику ABD очевидно, що∡ABD>∡1, що означає ∡ABD>∡2.

 

Оскільки проти більшого кута лежить більша сторона, AB<AD, а \(AD =

AC + BC\), значить AB<AC+BC.

 

Слідство 4. Для будь-якої з трьох точокA,B і C, що не лежать на одній прямій, справедливі нерівності:
AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC.