Формули подвійного аргументу (базовий рівень)

Формули  подвійного  аргументу дозволяють представити тригонометричну функцію подвоєного аргументу у вигляді виразу тригонометричних функцій простого (одинарного) аргументу.

Ці формули встановлюють співвідношення між sin2x,cos2x,tg2x і sinx,cosx,tgx.

 

Послідовно приведемо і доведемо формули подвійного аргументу для функцій синуса, косинуса і тангенса.

 

1. Розглянемо вираз sin2x - представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x і скористаємося відомою формулою синуса  суми  аргументів:

sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ.

Тоді  отримаємо:

sin2x=sin(x+x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx

Отже, 

формула синуса  подвійного  аргументу:  sin2x=2sinx⋅cosx

 

2. Розглянемо вираз cos2x і аналогічно представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x, а також скористаємося відомою формулою косинуса  суми  аргументів:

cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ.

Тоді отримаємо:

cos2x=cos(x+x)=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cos2x−sin2x

Отже, 

формула косинуса подвійного аргументу: cos2x=cos2x−sin2x

 

3. Тепер розглянемо вираз tg2x і знову представимо його аргумент у вигляді 2x=x+x, що дасть можливість скористатися відомою формулою тангенса  суми  аргументів:

 tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ.

Тоді отримаємо:

tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1−tgx⋅tgx=2tgx1−tg2x

 

формула тангенса подвійного  аргументу: tg2x=2tgx1−tg2x

 

Зверни увагу!

Формули синуса подвійного аргументу і косинуса подвійного аргументу справедливі для будь-яких значень аргументу (ніяких обмежень немає), тоді як формула тангенса подвійного  аргументу справедлива лише для тих значень аргументу x, для яких визначені функції tgx і tg2x, а також відмінний від нуля знаменник дробу, тобто 1−tg2x≠0.

Це рівнозначно одночасному виконанню умов:      

x≠π2+πk,k∈Z, x≠π4+πn,n∈Z.

 

Зрозуміло, всі отримані формули можна застосувати й в тих випадках, коли місце аргументу x займає більш складний вираз, наприклад, справедливі наступні співвідношення:  

sin4x=2sin2x⋅cos2x

 

sinx=2sinx2⋅cosx2  - до речі, цю формулу іноді називають формулою половинногоаргументу

 

cos48°=cos224°−sin224°

 

cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)−sin2(x+3y)

 

tg(2π3−2t)=tg(2(π3−t))=2tg(π3−t)1−tg2(π3−t)  і т.п.

 

Будь-яку з отриманих формул подвійного аргументу можна використовувати як зліва направо, так і справа наліво (згортати) для рішення тригонометричнихвиразів. 

 

Вираз sin2x, cos 2x, tg2x можна виразити через sinx, cosx,tgx. Ці перетворюючі формули називаються формулами подвійного аргументу.

Розглянемо вираз sin2x, представивши при цьому 2x у вигляді x+x. Це дозволить застосувати до виразу sin(x+x) формулу синуса суми.

sin2x=sin(x+x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx

 

Розглянемо вираз cos2x, представивши при цьому 2x у вигляді x+x. Це дозволить застосувати до виразу cos(x+x) формулу косинуса суми.

cos2x=cos(x+x)=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cos2x−sin2x

 

Розглянемо вираз tg2x, представивши при цьому 2x у вигляді x+x. Це дозволить застосувати до виразу  tg(x+x) формулу "тангенс суми".

tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1−tgx⋅tgx=2tgx1−tg2x

Зверни увагу!

Формули синуса подвійного аргументу і косинуса подвійного аргументу справедливі для будь-яких значень аргументу, тоді як формула тангенса подвійного аргументу справедлива лише для тих значень аргументу x, для яких визначені tgx, tg2x, а також відмінний від нуля знаменник дробу, тобто 1−tg2x≠0.

Зрозуміло, формули подвійного аргументу можна застосовувати і в тих випадках, коли місце аргументу x займає більш складний вираз.

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра і початки математичного аналізу 10 клас, профільний рівень, 2 частина. М: 2009, 209 c.