Додавання многочленів

Теорія:

Щоб скласти два многочлени, необхідно:

 

1) розкрити дужки (не змінюючи знаки, тому що перед дужками стоїть знак "+");
2) додати подібні члени многочлена.

 

 

Приклад:

Додаємо многочлени (−5x3+3y−5y2)+(8x3+5y2−2y)

1) Розкриваємо дужки.

(−5x3+3y−5y2)+(8x3+5y2−2y)==−5x3+3y−5y2+8x3+5y2−2y

 

2) Знаходимо подібні члени многочлена і додаємо.

 

−5x3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+3y−5y2+8x3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+5y2−2y=3x3+3y¯¯¯¯¯¯¯¯−5y2+5y2−2y¯¯¯¯¯¯¯¯=3x3+y

Види многочленів

Теорія:

Многочлен може називатися також поліномом (від грец. poly — багато, nomos — частина).

Одночлени (мономи) — це многочлени, які містять тільки один доданок.

 

Двочлени (біноми) — це многочлени, які містять два доданки.

 

Тричлени (триноми) — це многочлени, які містять три доданки.

У многочленів (поліномів) з великою кількістю доданків спеціальних назв немає.

 

У таблиці розглянуто приклади многочленів.

 

 

Одночлени	Двочлени	Тричлени
−5x2y	5xy−3x	3x3−4x−0,2
7	6m3n+4	6m2n−3mn+3
2a7	4a5+2ab	5a3+0,4ab+b3

 

 

Многочлен і його стандартний вигляд

Теорія:

Раніше, познайомившись із поняттям "одночлен", було констатовано, що при додаванні одночленів, які не є подібними, у сумі виходить більше ніж один доданок.

Многочленом називається сума одночленів.

Многочленом є 3x2y−7xy.

Многочленом також є 3x2y+(−7yx)=3x2y−7yx. 

Одночлени, з яких складається многочлен, називаються членами многочлена.  

Членами многочлена 2x2y+3xy−2 є 2x2y, 3xy і –2.

 

 

Приклад1.

Записати коефіцієнти і ступеня членів многочлена 4a2b−ba+12

 

Члени многочлена	4a2b	−ba	12
Коефіцієнти членів	4	−1	12
Степені членів	3	2	0

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо коефіцієнт не вказаний, його значення дорівнює 1.

 

Члени многочлена називаються подібними, якщо їх змінні множники рівні.

Подібні члени многочлена додаються, при додаванні подібних членів їх коефіцієнти складаються.
Подібними членами многочлена 3x2y+2x2y−2xy+yx2+4−3є  3x2y;2x2y;yx2.

Подібними є також 4  і  –3,  у яких змінних множників узагалі немає.
Склавши всі подібні члени многочлена, отримуємо:

3x2y¯¯¯¯¯¯¯¯+2x2y¯¯¯¯¯¯¯¯−2xy+yx2¯¯¯¯¯¯+4−3 = 6x2y−2xy+1

 

(легше виконувати дії, якщо підкреслити подібні члени).

 

Многочлен записаний у стандартному вигляді, якщо всі подібні члени додані й записані в стандартному вигляді.

 

Приклад 2.

Записати многочлен 6+10x2yx−6xyx⋅x+3x2y−4 у стандартному вигляді:

 

1) Записуються члени многочлена в стандартному вигляді.

6+10x2yx¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−6xyx⋅x¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯+3x2y−4=6+10x3y−6x3y+3x2y−4=

 

 

2) Знаходяться подібні члени.

=6¯¯+10x3y¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−6x3y¯¯¯¯¯¯¯¯+3x2y−4¯¯=

 

 

3) Віднімаються (сумуються) подібні члени многочлена (6-4=2 и 10-6=4).

=2+4x3y+3x2y=

 

4) Члени многочлена можна розташувати в порядку зменшування ступенів.

=3x2y+4x3y+2

 

Степенем многочлена в стандартному вигляді називається найбільший зі стйпенів одночленів, які входять до нього.

Приклад 3.

Визначити степінь многочлена 3a4b2−2a3b2+ab2−ab+2

 

 

Члени многочлена	3a4b2	−2a3b2	a1b2	−a1b1	2a0
Степінь членів многочлена	4+2=6	3+2=5	1+2=3	1+1=2	0

 

Даний многочлен є многочленом шостого степеня.