Побудова трикутників за трьома елементами

Теорія:

Відстань від точки до прямої

 

1. Якщо від точки C до прямої a проведено перпендикуляр CA, то всі інші відрізки, проведені від цієї точки до прямої, називаються похилими.

2. Перпендикуляр, проведений від точки до прямої, менший від будь похилої, проведеної з тієї ж точки до цієї прямої, оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет.

3. Довжина перпендикуляра, проведеного від точки до прямої, називається відстанню від цієї точки до прямої.

Відстань між паралельними прямими

Усі точки однієї з паралельних прямих рівновіддалені від іншої паралельної прямої.

 

Отже, відстань між двома паралельними прямими визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки, взятої на одній прямій, на іншу пряму.

 

 

Побудова трикутника за трьома елементам

У темах про побудови було розглянуто:

 

1. як провести коло з даними центром і радіусом;
2. як на даному промені від його початку відкласти відрізок, рівний даному;
3. як побудувати кут, рівний даному;

4. як побудувати бісектрису кута;
5. як побудувати перпендикулярну пряму;
6. як побудувати середину відрізка.

 

Використовуючи розглянуті побудови й дані елементи трикутника, можна побудувати трикутник, рівний даному.

 

Побудова трикутника за двома сторонами й кутом між ними.

Приклад:

Дано два відрізки a і b, вони дорівнюють сторонам шуканого трикутника, і кут ∡1, дорівнює куту трикутника між сторонами. Необхідно побудувати трикутник з елементами, що дорівнюють даним відрізкам і куту.

1. Провести пряму.
2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a.
3. Побудувати кут, що дорівнює даному∡1 (вершина кута A, одна сторона кута лежить на прямій).
4. На іншій стороні кута відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку b.
5. З'єднати кінці відрізків.

 

Згідно з ознакою рівності трикутників за двома сторонамми й куту між ними, побудований трикутник дорівнює із всіма трикутниками, які мають дані елементи.

Приклад:

Побудова трикутника за стороною і двома прилеглими до неї кутами.

Дано відрізок a и два кути∡1 і∡2, які дорівнюють кутам трикутника, прилеглим до даної сторони. Необхідно побудувати трикутник з елементами, які дорівнюють даному відрізку й кутам.

 

 

 

1. Провести пряму.
2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a, і зазначити інший кінець відрізка B.
3. Побудувати кут, що дорівнює даному∡1 (вершина кута A, одна сторона кута лежить на прямій).
4. Побудувати кут, що дорівнює даному∡2 (вершина кута \ (B \), одна сторона кута лежить на прямій).
5. Точка перетину інших сторін кутів є третьою вершиною шуканого трикутника.

 

Згідно з ознакою рівності трикутників за стороною та двома прилеглим до неї кутам, побудований трикутник дорівнює усім трикутникам, які мають дані елементи.

 

Побудова трикутника за трьома сторонами. Завдання. Дано три відрізки: a, b і c, що дорівнюють сторонам шуканого трикутника. Необхідно побудувати трикутник зі сторонами, що дорівнюють даним відрізкам.

 

У цьому випадку перед початком побудови необхідно переконатися, чи виконується нерівність трикутника (довжина кожного відрізка менша від суми довжин двох інших відрізків), і ці відрізки можуть бути сторонами трикутника.

Приклад:

 

Якщо так, то виконати такі дії:

 

1. Провести пряму.
2. На прямій від обраної точки A відкласти відрізок, що дорівнює даному відрізку a, і зазначити інший кінець відрізка B.
3. Провести коло з центром A і радіусом, що дорівнює відрізку b.
4. Провести коло з центром B і радіусом, що дорівнює відрізку c.
5. Точка перетину кіл є третьою вершиною шуканого трикутника.

 

Згідно з ознакою рівності трикутників за трьома сторонами, побудований трикутник дорівнює всім трикутникам, які мають дані сторони.

Прямокутні трикутники

Теорія:

Властивості прямокутного трикутника

Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°, а прямий кут дорівнює 90°, тому сума двох гострих кутів прямокутного трикутника∡1+∡2=90°.

Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30°, дорівнює половині гіпотенузи (гіпотенуза в два рази довша від катета проти кута в 30°).

 

Розглянемо прямокутний трикутник ABC, у якому∡A — прямий, ∡B=30° і значить, що ∡C=60°.

 

Доведемо, що BC=2AC.
Прикладемо до трикутника ABC рівний йому трикутник ABD як показано на рисунку.
Отримаємо трикутник BCD, у якому∡B=∡D=60°, тому DC=BC. Але DC=2AC. Отже, BC=2AC.

 

Справедливо і зворотне судження.

Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи (або гіпотенуза в два рази довша від катета), то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Оскільки в прямокутному трикутнику кут між двома катетами — прямий, а будь-які два прямих кути рівні, то із загальних ознак рівності трикутників для прямокутних трикутників можна сформулювати свої ознаки рівності.

1. Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам другого, то такі трикутники рівні.

 

2. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катету і прилеглому до нього гострого куту іншого, то такі трикутники рівні.

 

3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

 

4. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

Співвідношення між кутами й сторонами трикутника

Теорія:

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

 

Доведення.

 

Нехай у трикутнику ABC сторона AB більше сторони AC.

Доведемо, що ∡C>∡B.

 

Відкладемо на стороні AB відрізок, рівний стороні AC.
Оскільки AD<AB, то точка D лежить між точками A і B.
Отже, кут 1 є частиною кута C і, відповідно

∡C>∡1.

 

Кут 2 — зовнішній кут трикутника BDC, тому ∡2>∡B.

∡1=∡2 як кути при основі рівнобедреного трикутникаADC.

Таким чином, ∡C>∡1=∡2>∡B.              

 

Звідси випливає, що∡C>∡B.

 

Справедлива і зворотна теорема.

У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.

 

Слідство 1. Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений (ознака рівнобедреного трикутника).

 

Слідство 2.Якщо три кути трикутника рівні, то трикутник рівносторонній.

 

Слідство 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета.

Нерівність трикутника

Кожна сторона трикутника менше суми двох інших сторін.

 

Доведення.

 

Розглянемо трикутникABC і доведемо, що AB<AC+BC.

 

Продовжимо сторону AC й відкладемо відрізок CD=BC.

Трикутник BCD — рівнобедрений, отже∡1=∡2.

У трикутнику ABD очевидно, що∡ABD>∡1, що означає ∡ABD>∡2.

 

Оскільки проти більшого кута лежить більша сторона, AB<AD, а \(AD =

AC + BC\), значить AB<AC+BC.

 

Слідство 4. Для будь-якої з трьох точокA,B і C, що не лежать на одній прямій, справедливі нерівності:
AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+AC.