Самостійна робота з геометрії. Варіант 1

http://onlinetestpad.com/ua/testview/9557-samost%D1%96jna-robota-z-geometr%D1%96i-var%D1%96ant-1

Тіла обертання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Утворення поверхні обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

• Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
• Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

S_біч = 2πrh.

• Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

S_біч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

S_біч = πr(l+ r).

• Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його ^[1]

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа

Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

• Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом i з радіусом кола , довжина лінії , довжина кола для центру мас , звідки площа поверхні тора .

• Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом i з радіусом кола , площа кола , довжина кола обертання центру мас , звідси об'єм тора

Додекаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Додекаедр, натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі

Додека́едр (від грец. dodeka — дванадцять і грец. hedra — грань), дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаної сфери:

Двогранний кут між гранями:
, де - золотий перетин

Приклади в природі

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.
Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

Властивості

• Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
• Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Додекаедр має три зірчасті форми.

Школа Піфагора

У школі Піфагора ця фігура була настільки священною що про неї навіть не говорили. Лише через 200 років після смерті Платона про неї почали говорити, але дуже обережно. Все тому що вважалося, що додекаедр розташований у зовнішній частині краю енергетичного поля і є найвищою формою свідомості.^{[Джерело?]}

Декартові координати

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/φ, ±φ)

(±1/φ, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1/φ)

де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.

Ікосаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ікосаедр, натисніть тут для обертання моделі

Ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер рівне 30, число вершин — 12.

Формули

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра а, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

Декартові координати

Золоті прямокутники в ікосаедрі

Такі декартові координати визначають вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте, що ці набори вершин формують взаємно відцентровані і взаємно ортогональні золоті прямокутники.

Властивості

• Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра усередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба
• В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.
• Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней додекаедра.
• У ікосаедр можна вписати додекаедр, притому вершини додекаедра будуть суміщені з центрами граней ікосаедра.

Октаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Октаедр, натисніть тут для обертання моделі

Окта́едр — (грец. οκτάεδρον, від грец. οκτώ, «вісім» і грец. έδρα «основа»)  (рос. октаедр, англ. octahedron, нім. Oktaeder m, Achtflächner m) — один з п'яти правильних багатогранників. Октаедр має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній вершині сходяться 4 ребра).

Формули

Площа S і об'єм V октаедра з довжиною ребра а обчислюється за формулами:

Декартові координати

Якщо центр октаедра з довжиною ребра помістити у центр координат, а його вершини розташувати на осях координат, тоді координати його шести вершин будуть: (±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Властивості октаедра

• Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири (з восьми) граней октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
• Октаедр з ребром у складається з 6 октаедрів (по вершинам) з ребром у:2 і 8 тетраедрів (по гранях) з ребром у:2
• Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.
• У октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.

Правильний тетраедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тетраедр, натисніть тут для обертання моделі

Тетра́едр називається правильним, якщо всі його грані — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

• (1, 1, 1)
• (-1, −1, 1)
• (-1, 1, −1)
• (1, −1, −1)

довжина ребра в цьому випадку складатиме .

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:
Площа поверхні
Об'єм
Висота
Радіус вписаної сфери
Радіус описаної сфери
Кут нахилу ребра
Кут нахилу грані
Група симетрій — Тетраедральна (T_h)

Властивості правильного тетраедра

• В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
• Правильний тетраедр з ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (по вершинам) з ребром х/2.
• Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.

У фізичному світі

• Крижані кристали H₂O
• Молекула метану CH₄
• Алмаз, C, — тетраедр з ребром рівним 2,5220 ангстремів
• Флюорит CaF₂, тетраедр з ребром рівним 3,8626 ангстремів
• Сфалерит, ZnS, тетраедр з ребром рівним 3,823 ангстремів

Квадріка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Квадріка — n-мірна гіперповерхня в n+1-мірному просторі, задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати {x₁, x₂, ..., x_n+1} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадріка має вигляд^[1]

Це рівняння можна переписати більш компактно в матричних позначеннях:

де x = {x₁, x₂, ..., x_n+1} — вектор-рядок, x^T — транспонований вектор, Q — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий), P — вектор-рядок, а R — константа. Найбільш часто розглядають квадріки над дійсними або комплексними числами. Визначення можна поширити на квадріка в проективному просторі.
Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебраїчний многовид. Таким чином, квадріка є (аффінним або проективним) алгебраїчним многовидом другого ступеня і ковимірності 1.

Квадріка в евклідовому просторі

Квадріка на евклідовій площині відповідає випадку n = 1, тобто є кривими. Зазвичай їх називають не квадріками, а коніками або конічними перетинами.

Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.

Квадріки в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадріка в евклідовому просторі можна привести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм.^[2] З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми включають в себе площині, прямі, точки і навіть квадріку без дійсних точок.^[3]

Невироджені дійсні квадріки в евклідовому просторі
Еліпсоїд
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда)
Сфера (спеціальна форма сфероїда)
Еліптичний параболоїд
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда)
Гіперболічний параболоїд
Однопорожнинний гіперболоїд
Двопорожнинний гіперболоїд
Вироджені квадріка в евклідовому просторі
Еліптичний конус
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса)
Еліптичний циліндр
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндру)
Гіперболічний циліндр
Параболічний циліндр

Афінний та проективний простір

Класифікація квадрік в тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрік в евклідовому просторі.^[4] Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадріка з одного класу можна перевести один в одного афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд неможливо перевести рухом в еліпсоїд ).
Від квадріка в афінному просторі можна перейти до квадріка в проектному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати тоді в рівнянні квадріка достатньо помножити лінійні члени на а вільний член на Рівняння проективної квадріка в однорідних координатах має вигляд

Без обмеження спільності можна вважати, що матриця симетрична, тобто Проективна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.
У дійсному проективному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратну форму можна привести (проективним перетворенням) до вигляду

Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентності:

Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадріка є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проективному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проективному просторі все невироджені квадріка еквівалентні.

Імовірність і статистика

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:

де це масштабний коефіцієнт, це -мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором , це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою.^[5] Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому для квадратичної форми .
Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.